Законы сохранения в общей теории относительности

В рамках общей теории относительности (ОТО) классические законы сохранения, такие как закон сохранения энергии и импульса, принимают более сложную и геометрически обусловленную форму. Из-за ковариантности и геометрической природы гравитационного взаимодействия универсальная формулировка этих законов требует использования тензорного анализа на многообразиях и понимания связи между симметриями пространства-времени и сохранением физических величин.

Основным выражением закона сохранения энергии-импульса в ОТО является условие:

∇_μT^μν = 0,

где T^μν — тензор энергии-импульса вещества и полей (исключая гравитационное поле), а ∇_μ — ковариантная производная, согласованная с метрикой пространства-времени. Это уравнение отражает локальное сохранение энергии и импульса в искривлённом пространстве-времени, причём его значение сильно отличается от аналогичного уравнения в специальной теории относительности.

Важно подчеркнуть, что ∇_μT^μν = 0 — это не просто математическая формальность, а необходимое условие совместимости уравнений движения материи с уравнениями Эйнштейна, связывающими геометрию пространства-времени с материей:

G^μν + Λg^μν = κT^μν,

где G^μν — тензор Эйнштейна, Λ — космологическая постоянная, g^μν — метрический тензор, а κ — гравитационная константа (в подходящих единицах).

Из геометрической тождества Бьянки:

∇_μG^μν = 0,

и неизменности ∇_μg^μν = 0 автоматически следует, что:

∇_μT^μν = 0.

Таким образом, сохранение энергии-импульса не навязывается вручную, а возникает как следствие геометрических свойств кривизны и ковариантной структуры.

Трудности с глобальной формулировкой закона сохранения

В плоском пространстве специальной теории относительности существует возможность определить полную энергию системы как интеграл по пространственному сечению:

E = ∫T⁰⁰ d³x.

Однако в искривлённом пространстве-времени такое определение глобальной энергии теряет универсальность. Причины заключаются в следующем:

В ОТО отсутствует канонически определённая инерциальная система отсчёта, на фоне которой можно было бы «измерять» энергию.
Ковариантная производная не сводится к обычной в частных координатах, а это значит, что нельзя интегрировать T⁰⁰ по произвольной гиперплоскости, не учитывая вклад кривизны.
Сама гравитационная энергия не может быть локализована: её нельзя описать в терминах тензорной плотности энергии, определённой в каждой точке пространства.

В результате в ОТО не существует тензорной плотности энергии гравитационного поля, что принципиально отличает гравитацию от всех остальных фундаментальных взаимодействий.

Псевдотензоры энергии-импульса гравитационного поля

Для попытки формализовать вклад гравитационного поля в закон сохранения используются псевдотензоры энергии-импульса, такие как:

Псевдотензор Эйнштейна,
Псевдотензор Ландау–Лифшица,
Псевдотензоры Мёллера, Папапетру и др.

Один из примеров — псевдотензор Эйнштейна:

$$ t^{\mu\nu}_{\text{Einstein}} = \frac{1}{\kappa} \left( \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \Gamma^{\nu\alpha\beta} - \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \Gamma^{\beta\nu\alpha} + \dots \right), $$

который зависит от производных метрики и не является тензором относительно произвольных координатных преобразований. В совокупности с T^μν, можно определить формально сохраняемую величину:

∂_μ(T^μν + t^μν) = 0,

что позволяет в асимптотически плоском пространстве определять интегральные энергии и импульсы системы.

Однако такие конструкции страдают от координатной зависимости и не имеют общековариантного смысла, что ограничивает их физическую интерпретацию. Они пригодны лишь в специально выбранных системах координат, например, при анализе излучения гравитационных волн вдали от источника.

Симметрии и теорема Нётер в кривизне

Классическая теорема Нётер связывает непрерывные симметрии лагранжиана с сохраняющимися величинами. В теории поля на плоском фоне трансляционная симметрия приводит к сохранению тензора энергии-импульса, а поворотная — к сохранению момента импульса.

В ОТО же лагранжиан гравитационного поля инвариантен относительно диффеоморфизмов (гладких координатных преобразований), которые являются локальными симметриями. Это приводит к тому, что соответствующие законы Нётер имеют другой характер — они не дают сохраняемых глобальных величин, но обеспечивают тождественные ковариантные условия, такие как тождества Бьянки.

Следовательно, в гравитационной теории на основе принципа общей ковариантности стандартная теорема Нётер приводит к тождествам, но не к законам сохранения в интегральной форме. Лишь при наличии дополнительных симметрий (например, стационарности или асимптотической плоскости) удаётся восстановить интегральные законы сохранения.

Энергия в асимптотически плоском пространстве: масса Арновитта–Дезера–Мизнера (ADM)

Для решений уравнений Эйнштейна, которые асимптотически приближаются к плоскому пространству Минковского на бесконечности, можно ввести хорошо определённую интегральную характеристику — ADM-массу:

$$ M_{\text{ADM}} = \frac{1}{16\pi} \lim_{r \to \infty} \int_{S_r} (\partial_j h_{ij} - \partial_i h_{jj}) n^i \, dS, $$

где h_ij = g_ij − δ_ij, S_r — сферическая поверхность большого радиуса, а nⁱ — нормаль к сфере.

ADM-масса играет важную роль в теоремах положительности энергии, а также в описании массивных гравитационных объектов, таких как чёрные дыры. Она инвариантна при допустимых координатных преобразованиях, сохраняющих асимптотику, и может интерпретироваться как «гравитационная энергия» всей системы, включающая как материю, так и гравитационное поле.

Поток энергии гравитационных волн: тензор энергии-импульса в линейной теории

В рамках линейного приближения ОТО (т.е. в теории малых возмущений на фоне плоского пространства) можно определить эффективный тензор энергии-импульса гравитационных волн. Он имеет вид:

$$ \langle t^{\mu\nu} \rangle = \frac{1}{32\pi} \langle \partial^\mu h_{\alpha\beta} \partial^\nu h^{\alpha\beta} \rangle, $$

где h_αβ — малое возмущение метрики, а угловые скобки обозначают усреднение по длине волны. Это выражение, хотя и не ковариантно, позволяет вычислять мощность, переносимую гравитационными волнами, например, из двойных звёздных систем. Именно такое приближение лежит в основе экспериментального обнаружения гравитационного излучения.

Консервативные системы и Killing-векторы

Если пространство-время допускает Killing-вектор ξ^μ, т.е. векторное поле, при котором ℒ_ξg_μν = 0, то можно построить сохраняемую величину:

J^μ = T^μνξ_ν, ∇_μJ^μ = 0.

Это позволяет интегрально формулировать законы сохранения энергии (если ξ^μ — времеподобный Killing-вектор) и момента импульса (если ξ^μ — вращательный). Примеры:

В стационарном пространстве-времени (например, вне чёрной дыры Шварцшильда) сохраняется энергия частицы.
В осесимметричном поле (как у Керра) сохраняется момент импульса вдоль оси симметрии.

Однако такие конструкции требуют наличия симметрии, что не всегда возможно в динамически развивающемся или анизотропном пространстве.

Таким образом, в общей теории относительности законы сохранения энергии и импульса существуют в локальной, тензорной форме, но их глобальная и инвариантная формулировка возможна только при наличии специальных условий — симметрий, асимптотической плоскости или слабого поля. Полная и универсальная локализация гравитационной энергии невозможна, что отражает фундаментально геометрическую природу гравитации.