Одним из фундаментальных предсказаний общей теории относительности Эйнштейна является неравномерность течения времени в различных точках гравитационного поля. Согласно этой теории, время замедляется по мере приближения к массивному телу. Это явление известно как гравитационное замедление времени и связано с тем, что гравитационное поле влияет на геометрию пространства-времени, искривляя его.
Математически это проявляется в свойствах метрики решения уравнений Эйнштейна. Пусть дано статическое сферически симметричное гравитационное поле, описываемое метрикой Шварцшильда:
$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2, $$
где:
Коэффициент при dt2 указывает на то, как изменяется интервал собственного времени dτ по сравнению с координатным временем dt. Собственное время фиксированной (стационарной) частицы в поле массы M определяется как:
$$ d\tau = \sqrt{g_{00}}\, dt = \sqrt{1 - \frac{2GM}{c^2 r}} \, dt. $$
Отсюда следует, что ближе к массе (при меньших r) собственное время течёт медленнее по сравнению с удалённым наблюдателем, находящимся в слабом или пренебрежимо малом гравитационном поле.
Эффект гравитационного замедления времени может быть выражен также в терминах сдвига частот. Пусть в точке с радиусом r1 испускается световая волна с частотой ν1, а в точке с радиусом r2 она принимается с частотой ν2. Тогда между этими частотами выполняется соотношение:
$$ \frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{\frac{1 - \dfrac{2GM}{c^2 r_1}}{1 - \dfrac{2GM}{c^2 r_2}}}. $$
Это означает, что свет, испущенный из более глубокого гравитационного потенциала, будет наблюдаться как красносмещённый — его частота будет уменьшена, а длина волны увеличена. Это явление — гравитационный красный сдвиг — экспериментально подтверждает существование замедления времени в гравитационном поле.
Ключевым проявлением замедления времени является различие между показаниями двух часов, одно из которых находится ближе к массивному телу. Пусть часы A находятся на высоте h над поверхностью Земли, а часы B — на поверхности. При условии h ≪ R, где R — радиус Земли, справедливо приближённое выражение:
$$ \frac{d\tau_A}{dt} - \frac{d\tau_B}{dt} \approx \frac{gh}{c^2}, $$
где g — ускорение свободного падения. Это соотношение успешно проверено в серии экспериментов. Среди них особенно важны:
Эти результаты подтверждают не только корректность общей теории относительности, но и её необходимость в современных технологиях.
Замедление времени — прямое следствие геометрии пространства-времени. Вблизи массивных тел искривление метрики становится сильнее, что отражается в уменьшении компоненты g00 метрики. Если представить себе конус светового луча (световой конус) в пространственно-временной диаграмме, то вблизи массивного тела этот конус становится «уже» по времени, что указывает на меньшую скорость течения собственного времени.
Таким образом, замедление времени можно интерпретировать как сжатие временной оси по сравнению с координатной осью наблюдателя, удалённого от гравитационного источника.
Гравитационное замедление времени имеет последствия не только для измерений времени, но и для термодинамики и квантовой физики. Например, при описании температурного излучения черной дыры (излучение Хокинга), температура, измеряемая удалённым наблюдателем, связана с поверхностной гравитацией чёрной дыры и метрикой на горизонте событий. Вблизи горизонта событий чёрной дыры время “замирает” с точки зрения внешнего наблюдателя: тело, падающее в чёрную дыру, как бы замедляется и “застывает” у горизонта.
Кроме того, в контексте термодинамики сильных гравитационных полей, например в теориях гравитационного коллапса и ранней Вселенной, распределения энергии и температуры должны корректироваться с учётом различных темпов хода времени в разных точках пространства-времени.
В моделях расширяющейся Вселенной (метрика Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера) также возникают вариации течения времени. Хотя в этих моделях отсутствует центральная масса, расширение пространства-времени влияет на то, как локальное собственное время соотносится с космическим временем. Разные наблюдатели, находящиеся в различных гравитационных потенциалах, могут фиксировать разные значения времени для одних и тех же космологических событий.
Особый случай представляет собой поведение времени у горизонта событий чёрной дыры. В метрике Шварцшильда при $r \to r_s = \frac{2GM}{c^2}$, компонент g00 → 0, а значит:
$$ d\tau = \sqrt{1 - \frac{2GM}{c^2 r}} \, dt \to 0. $$
Это означает, что по координатному времени внешний наблюдатель никогда не увидит, как объект пересекает горизонт событий: он будет наблюдать бесконечно замедляющееся движение, вплоть до полной остановки. Однако для самого падающего наблюдателя τ остаётся конечным: он пересекает горизонт за конечное собственное время. Эта особенность подчёркивает различие в восприятии времени разными наблюдателями и иллюстрирует принцип относительности интервалов в искривлённом пространстве-времени.
С практической точки зрения, гравитационное замедление времени критически важно в системах, требующих точной синхронизации и учета эффекта пространственно-временной кривизны. Например, в глобальных позиционных системах (GPS), где спутники движутся как по орбите, так и находятся выше по гравитационному потенциалу, необходим двойной учёт как специального замедления времени из-за скорости, так и гравитационного — из-за удалённости от центра Земли. Без учёта этих эффектов ошибки в определении положения достигали бы километров всего за сутки.
Современные атомные часы позволяют регистрировать различия в скорости течения времени даже при изменении высоты на сантиметры, что делает возможным использование принципа гравитационного замедления времени в геодезии и мониторинге гравитационного потенциала Земли. Это направление известно как релятивистская геодезия и активно развивается с появлением портативных оптических атомных часов.
Гравитационное замедление времени — проявление принципа эквивалентности Эйнштейна, согласно которому ускоренное движение неотличимо от действия гравитационного поля. В ускоряющейся ракете с ускорением g наблюдается замедление времени на нижней палубе по сравнению с верхней, аналогично тому, как в гравитационном поле время течёт медленнее ближе к источнику. Это служит интуитивной моделью для понимания общей природы эффекта замедления времени и иллюстрирует универсальность предсказаний общей теории относительности.