Классическое описание заряжённых чёрных дыр
Заряжённые чёрные дыры описываются в рамках общей теории относительности решениями уравнений Эйнштейна с ненулевым электромагнитным тензором. Основным точным решением является решение Рейсснера — Нордстрёма, описывающее статическую, сферически-симметричную чёрную дыру с электрическим зарядом. Метрика в координатах Шварцшильда имеет вид:
ds2 = −f(r) c2dt2 + f(r)−1dr2 + r2(dθ2 + sin2θ dϕ2),
где
$$ f(r) = 1 - \frac{2GM}{c^2 r} + \frac{G Q^2}{4\pi \varepsilon_0 c^4 r^2}. $$
Здесь M — масса чёрной дыры, Q — её электрический заряд, ε0 — электрическая постоянная. Это решение содержит два горизонта:
$$ r_{\pm} = \frac{GM}{c^2} \pm \sqrt{\left(\frac{GM}{c^2}\right)^2 - \frac{G Q^2}{4\pi \varepsilon_0 c^4}}. $$
Если Q = 0, то возвращаемся к решению Шварцшильда. Если Q ≠ 0, появляются внутренний и внешний горизонты событий. В предельном случае, когда заряжённость максимальна, два горизонта сливаются:
$$ |Q| = Q_{\text{экст}} = \sqrt{4\pi \varepsilon_0} \, \frac{GM}{c^2}. $$
Такой объект называется экстремальной чёрной дырой.
Если же |Q| > Qэкст, то выражение под корнем становится отрицательным, горизонты исчезают, и остаётся голая сингулярность — физически запрещённое состояние, если принять гипотезу космической цензуры.
Электромагнитное поле и тензор энергии-импульса
Наличие заряда требует учёта электромагнитного тензора Fμν, удовлетворяющего уравнениям Максвелла в криволинейном пространстве:
∇μFμν = μ0Jν,
где Jν — четырёхток, μ0 — магнитная постоянная. Энергетически важным объектом становится тензор энергии-импульса электромагнитного поля:
$$ T^{\mu\nu}_{\text{EM}} = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{\mu\alpha} F^{\nu}_{\ \alpha} - \frac{1}{4} g^{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} \right), $$
входящий в правую часть уравнений Эйнштейна. Его вклад приводит к дополнительному ∼ Q2/r2 слагаемому в метрике.
Каузальная структура и пенроузовские диаграммы
Присутствие двух горизонтов усложняет каузальную структуру пространства-времени. Пространство между двумя горизонтами — область, где радиальная координата становится времеподобной, аналогично внутренности горизонта Шварцшильда, но с дополнительной сложностью.
Пенроузовская диаграмма решения Рейсснера — Нордстрёма состоит из бесконечно чередующихся блоков: внешних областей, горизонтов, внутренних регионов и сингулярностей. Эта особенность отражает наличие мостов между «вселенной» и «внутренней» областью, однако эти мосты нестабильны при малейших возмущениях.
Энергетические условия и сингулярности
Тензор энергии-импульса электромагнитного поля удовлетворяет слабому и доминантному энергетическим условиям. Это означает, что сингулярность, возникающая в r = 0, не устраняется и физически значима. Согласно теореме Пенроуза о сингулярности, наличие ловящих поверхностей и удовлетворение энергетических условий приводит к неизбежному образованию сингулярности при гравитационном коллапсе заряжённого объекта.
Термодинамика и температура экстремальных чёрных дыр
Температура чёрной дыры Рейсснера — Нордстрёма определяется через поверхностную гравитацию на внешнем горизонте:
$$ T_H = \frac{\hbar c^3}{2\pi k_B G M} \cdot \frac{\sqrt{1 - (Q/Q_{\text{экст}})^2}}{\left(1 + \sqrt{1 - (Q/Q_{\text{экст}})^2} \right)^2}. $$
При достижении экстремального предела температура стремится к нулю:
TH → 0 при |Q| → Qэкст.
Это делает экстремальные чёрные дыры потенциально стабильными квантово-механическими объектами, не испускающими излучение Хокинга. Однако вопрос, возможно ли достигнуть экстремального состояния в реальном процессе, остаётся открытым. Механизмы, такие как ограничение на поступление заряда, обусловленное эффектом Швингера, препятствуют этому.
Квантовые эффекты и стабильность
Электрически заряжённая чёрная дыра может индуцировать квантовое рождение пар частиц, если напряжённость поля достигает критического значения:
$$ \mathcal{E}_{\text{кр}} = \frac{m_e^2 c^3}{e \hbar} \sim 1.3 \times 10^{18} \ \text{В/м}. $$
Если поле на горизонте превышает это значение, возникают электро-позитронные пары, уменьшая заряд чёрной дыры. Это указывает на механизм частичного разряда и, следовательно, невозможность существования устойчивых сильно заряженных объектов.
Кроме того, с квантовой точки зрения предполагается, что при стремлении к экстремальности могут возникать нестабильности, связанные с флуктуациями геометрии и нарушением условий термодинамического равновесия.
Заряжённые вращающиеся чёрные дыры: метрика Керра — Ньюмана
Обобщением решения Рейсснера — Нордстрёма на случай вращающейся чёрной дыры с зарядом является решение Керра — Ньюмана. Оно характеризуется тремя параметрами: массой M, угловым моментом J и зарядом Q. Метрика принимает более сложный вид в координатах Бойера — Линдквиста:
$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GMr - GQ^2}{\rho^2 c^2} \right) c^2 dt^2 - \frac{4GMar \sin^2\theta}{\rho^2 c^2} dt d\phi + \frac{\rho^2}{\Delta} dr^2 + \rho^2 d\theta^2 + \left(r^2 + \frac{a^2}{c^2} + \frac{GQ^2 a^2 \sin^2\theta}{\rho^2 c^4} \right) \sin^2\theta d\phi^2, $$
где
$$ \rho^2 = r^2 + \frac{a^2}{c^2} \cos^2\theta, \quad \Delta = r^2 - \frac{2GMr}{c^2} + \frac{a^2}{c^2} + \frac{GQ^2}{c^4}. $$
В этом случае также существуют два горизонта, внутренний и внешний, а каузальная структура пространства-времени ещё более сложна, включая возможность наличия эргосферы, через которую возможно извлечение энергии (эффект Пенроуза).
Гравитационное взаимодействие заряжённых тел и модификации в уравнениях движения
В присутствии зарядов изменяется не только метрика, но и уравнения движения пробных тел. Частица с зарядом q в электромагнитном и гравитационном поле подчиняется уравнению Лоренца в криволинейном пространстве:
$$ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau} = \frac{q}{m} F^{\mu}_{\ \nu} \frac{dx^\nu}{d\tau}. $$
Это приводит к эффектам, отличающимся от нейтральных траекторий: возможны устойчивые орбиты на других радиусах, а также эффект захвата и отражения, зависящий от соотношения знаков зарядов и величины поля.
Гравитационное излучение и особенности динамики
Хотя гравитационное излучение создаётся квадрупольными моментами, наличие заряда может существенно изменить динамику слияния чёрных дыр. В частности, при слиянии двух заряжённых чёрных дыр может происходить также электромагнитное излучение, и возможны сдвиги в формах гравитационно-волнового сигнала. Это особенно важно для наблюдательных программ, таких как LIGO и Virgo, если предполагать существование остаточного заряда у астрофизических чёрных дыр, хотя экспериментально таких следов пока не обнаружено.