В релятивистской физике и расширенных подходах к классической механике важную роль играет понятие четырехвектора. Четырехвектор — это объект, который имеет четыре компоненты, трансформирующиеся особым образом при переходе между инерциальными системами отсчета. Он объединяет пространственные и временную координаты, что обеспечивает единый подход к описанию событий и физических величин в пространстве-времени.
Обозначим четырехвектор как Xμ, где индекс μ принимает значения 0, 1, 2, 3. Обычно компоненты выбираются следующим образом:
Xμ = (X0, X1, X2, X3) = (ct, x, y, z),
где c — скорость света, t — время, а x, y, z — пространственные координаты. Компонента X0 = ct вводится для единообразия размерностей и удобства записи преобразований Лоренца.
Ключевым свойством четырехвекторов является их инвариантность относительно преобразований Лоренца. Пусть система отсчета K′ движется относительно системы K с постоянной скоростью v вдоль оси x. Тогда преобразование Лоренца записывается как:
$$ \begin{aligned} X'^0 &= \gamma (X^0 - \beta X^1),\\ X'^1 &= \gamma (X^1 - \beta X^0),\\ X'^2 &= X^2,\\ X'^3 &= X^3, \end{aligned} $$
где β = v/c, $\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}$. Такое преобразование сохраняет инвариантное расстояние между событиями в пространстве-времени:
s2 = (X0)2 − (X1)2 − (X2)2 − (X3)2.
Здесь s2 называется квадратом интервала. Он остается неизменным в любых инерциальных системах отсчета, что отражает фундаментальный принцип релятивистской механики.
Для двух четырехвекторов Aμ и Bμ вводится скалярное произведение:
A ⋅ B = AμBμ = A0B0 − A⃗ ⋅ B⃗,
где A⃗ ⋅ B⃗ = A1B1 + A2B2 + A3B3. Это произведение инвариантно относительно преобразований Лоренца, что делает его фундаментальной величиной для описания физических законов.
Четырехвектор можно разделить на временную компоненту X0 и трехмерный пространственный вектор X⃗ = (X1, X2, X3). Такое разложение полезно для анализа динамических процессов и перехода к классическим формулировкам. Например, четырехскорость определяется как производная координат по собственному времени τ:
$$ U^\mu = \frac{dX^\mu}{d\tau} = \gamma (c, \vec{v}), $$
где v⃗ — обычная трехмерная скорость тела, $\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}$.
На основе четырехскорости вводится четырехимпульс частицы с массой m:
$$ P^\mu = m U^\mu = \left( \frac{E}{c}, \vec{p} \right), $$
где p⃗ = γmv⃗ — трехмерный импульс, E = γmc2 — полная энергия частицы. Скалярное произведение четырехимпульса с самим собой дает релятивистский закон сохранения массы:
$$ P^\mu P_\mu = \left(\frac{E}{c}\right)^2 - \vec{p}^{\,2} = m^2 c^2. $$
В релятивистской механике вводится четырехсила:
$$ F^\mu = \frac{dP^\mu}{d\tau}, $$
которая связывает изменение четырехимпульса с собственной системой отсчета частицы. В трехмерной форме это приводит к релятивистскому закону движения:
$$ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt}(\gamma m \vec{v}). $$
Особенность релятивистской динамики заключается в зависимости массы и импульса от скорости через фактор γ.
Помимо координат и импульса, к категории четырехвекторов относятся:
Все эти величины позволяют формулировать законы физики в виде ковариантных уравнений, сохраняющих свой вид при любых инерциальных преобразованиях.
Четырехвекторы можно рассматривать как объекты в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве с метрикой (+, −, −, −). Интервал s2 задает расстояние между событиями, а световые конусы, образованные нулевыми интервалами, определяют границы возможной причинной связи между событиями. Таким образом, концепция четырехвекторов объединяет пространственные и временные координаты в единую геометрическую структуру.