В классической механике деформация и напряжение представляют собой фундаментальные характеристики механического состояния твердых тел. Деформация описывает изменение формы и размеров тела под действием внешних сил, а напряжение характеризует внутренние силы, возникающие в теле при деформации. Связь между этими величинами лежит в основе теории упругости и пластичности.
Деформацией называют изменение формы или размеров тела под действием внешних воздействий. В зависимости от характера воздействия различают:
Для малых деформаций используют тензор деформации εij, компоненты которого определяются через градиенты смещения u(r):
$$ \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) $$
Для одномерного случая растяжения или сжатия вдоль оси x деформация определяется как:
$$ \varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} $$
где L0 — первоначальная длина, ΔL — изменение длины.
Напряжением называют внутренние силы в единице площади, возникающие в теле при его деформации. Напряжение характеризует сопротивление материала внешним воздействиям и описывается тензором напряжений σij.
Для одномерного растяжения нормальное напряжение вычисляется по формуле:
$$ \sigma = \frac{F}{A} $$
где F — сила, действующая вдоль оси, A — площадь поперечного сечения.
Для малых деформаций деформация и напряжение связаны линейным законом Гука:
σ = Eε
где E — модуль Юнга, характеризующий упругость материала.
Для объемных деформаций вводят коэффициент Пуассона ν, который связывает продольное и поперечное сокращение:
εпоперечное = −ν εпродольное
В более общем случае связь между тензором напряжений и деформаций задается обобщенным законом Гука:
σij = Cijklεkl
где Cijkl — тензор упругих констант, зависящий от симметрии кристаллической решетки или структуры материала.
Изотропные материалы Для материалов с одинаковыми свойствами во всех направлениях упругость определяется двумя константами: модулем Юнга E и коэффициентом Пуассона ν.
Связь между тензорами в этом случае упрощается:
$$ \sigma_{ij} = \frac{E}{1+\nu} \left[ \varepsilon_{ij} + \frac{\nu}{1-2\nu} \delta_{ij} \sum_k \varepsilon_{kk} \right] $$
Анизотропные материалы Для кристаллов и композитов требуется полный тензор упругих констант Cijkl, что позволяет учитывать зависимость упругих свойств от направления.
Пластические деформации При превышении предела текучести материал переходит в пластическое состояние, при котором деформация увеличивается без роста напряжения. Основные критерии пластичности: критерий фон Мизеса и критерий Трески.
Для решения задач упругости применяются следующие методы:
Метод прямого интегрирования уравнений равновесия Используется для простых геометрий и нагрузок. Основывается на решении дифференциальных уравнений равновесия тела.
Метод энергии (принцип минимальной потенциальной энергии) Определяет деформации, при которых потенциальная энергия системы минимальна. Эффективен для сложных геометрий и граничных условий.
Метод конечных элементов (МКЭ) Разбивает тело на малые элементы и численно решает уравнения упругости. Широко применяется в инженерной практике для анализа сложных конструкций.
Напряжение сдвига определяется как касательное напряжение на плоскости, ориентированной произвольно к телу. Для анализа максимальных нормальных и касательных напряжений удобно использовать круг Мора.
Диаграмма Мора позволяет определить:
Главные напряжения вычисляются как собственные значения тензора напряжений σij.
Знание деформаций и напряжений необходимо для:
Правильное использование теории напряжений и деформаций позволяет прогнозировать поведение материалов под нагрузкой и оптимизировать инженерные конструкции.