Когда на материальную точку или тело действует переменная по величине или направлению сила, движение становится существенно более сложным по сравнению с движением под действием постоянной силы. В таких случаях законы Ньютона применяются с учётом того, что ускорение не является постоянным, и требуется использование дифференциального анализа.
Векторная форма второго закона Ньютона для переменной силы записывается как:
$$ \vec{F}(t, \vec{r}, \vec{v}) = m \cdot \vec{a}(t) = m \frac{d \vec{v}}{dt} = m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}, $$
где:
Для решения задач движения под переменной силой необходимо интегрирование уравнений движения с учётом конкретной зависимости силы от времени, координаты или скорости.
Если сила зависит лишь от времени, F⃗ = F⃗(t), уравнение движения принимает вид:
$$ m \frac{d \vec{v}}{dt} = \vec{F}(t), $$
откуда скорость определяется интегрированием:
$$ \vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \frac{1}{m} \int_{t_0}^{t} \vec{F}(\tau) \, d\tau, $$
а координата — последующим интегрированием скорости:
r⃗(t) = r⃗0 + ∫t0tv⃗(τ) dτ.
Ключевой момент: скорость и перемещение зависят от суммарного импульса, переданного переменной силой.
Пример: гармоническая сила F⃗(t) = F0cos (ωt) î вызывает движение с переменной скоростью:
$$ v(t) = v_0 + \frac{F_0}{m \omega} \sin(\omega t), \quad x(t) = x_0 + v_0 t - \frac{F_0}{m \omega^2} \cos(\omega t) + \frac{F_0}{m \omega^2}. $$
Если сила зависит от положения тела, F⃗ = F⃗(r⃗), используется закон сохранения энергии:
F⃗(r⃗) = −∇U(r⃗),
где U(r⃗) — потенциальная энергия. Уравнение движения:
$$ m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = \vec{F}(\vec{r}) = - \nabla U(\vec{r}). $$
В случае одномерного движения по оси x:
$$ m \frac{d^2 x}{dt^2} = F(x) \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} m v^2 + U(x) = E = \text{const}. $$
Ключевой момент: при зависимости силы от координаты удобно использовать интеграл движения через энергию, что позволяет получить скорость как функцию координаты:
$$ v(x) = \sqrt{\frac{2}{m}[E - U(x)]}. $$
В случаях, когда сила зависит от скорости тела, F⃗ = F⃗(v⃗), уравнение движения становится дифференциальным уравнением первого порядка:
$$ m \frac{d \vec{v}}{dt} = \vec{F}(\vec{v}). $$
Пример: сила сопротивления среды пропорциональна скорости F⃗ = −kv⃗ (линейное сопротивление). Тогда:
$$ m \frac{d \vec{v}}{dt} = - k \vec{v} \quad \Rightarrow \quad \vec{v}(t) = \vec{v}_0 e^{- \frac{k}{m} t}. $$
Координата определяется интегрированием:
$$ \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \int_0^t \vec{v}(\tau) d\tau = \vec{r}_0 + \frac{m \vec{v}_0}{k} \left(1 - e^{- \frac{k}{m} t}\right). $$
Ключевой момент: тело постепенно замедляется до состояния покоя, что характерно для процессов с сопротивлением.
Если на тело действует несколько переменных сил одновременно, результирующая сила определяется как векторная сумма:
F⃗рез(t, r⃗, v⃗) = ∑iF⃗i(t, r⃗, v⃗).
Уравнение движения остаётся прежним:
$$ m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = \vec{F}_{\text{рез}}(t, \vec{r}, \vec{v}). $$
Составные силы могут зависеть как от времени, так и от координаты и скорости, что требует комбинированного подхода с интегрированием и использованием методов численного решения.
В большинстве практических случаев аналитическое решение невозможно. Для численного интегрирования применяются:
$$ \vec{v}_{n+1} = \vec{v}_n + \frac{\vec{F}_n}{m} \Delta t, \quad \vec{r}_{n+1} = \vec{r}_n + \vec{v}_n \Delta t $$
Метод Рунге-Кутты 4-го порядка (RK4): более высокая точность при той же величине шага.
Методы симплектической интеграции: сохраняют энергию системы при длительном численном моделировании.
Ключевой момент: для переменных сил численные методы зачастую единственный способ построить траекторию движения с высокой точностью.
Для переменной силы полезно рассматривать работу силы:
A = ∫r⃗0r⃗F⃗ ⋅ dr⃗.
Если сила потенциальная F⃗ = −∇U, то работа равна изменению потенциальной энергии:
A = U(r⃗0) − U(r⃗) = ΔU.
В противном случае работа переменной силы напрямую приводит к изменению кинетической энергии тела:
ΔT = A = ∫F⃗(t, r⃗, v⃗) ⋅ dr⃗.
Ключевой момент: в любой задаче с переменной силой важно определить характер зависимости F⃗(t, r⃗, v⃗) и выбрать соответствующий метод решения: аналитический, численный или комбинированный.