Положение и траектория частицы В пространстве двух или трёх измерений положение материальной точки задаётся радиус-вектором r(t), который соединяет начало выбранной системы координат с точкой. В декартовой системе координат для двух измерений:
r(t) = x(t)i + y(t)j
а для трёх измерений:
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k.
Траектория — это геометрическое место точек, описываемое движущейся точкой. Аналитически она задаётся функцией y(x) (2D) или системой y(x), z(x) (3D).
Скорость и ускорение Скорость v(t) — это первая производная радиус-вектора по времени:
$$ \mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \dot{x}\mathbf{i} + \dot{y}\mathbf{j} + \dot{z}\mathbf{k}. $$
Ускорение a(t) — вторая производная радиус-вектора:
$$ \mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \ddot{x}\mathbf{i} + \ddot{y}\mathbf{j} + \ddot{z}\mathbf{k}. $$
Ключевой момент: скорость и ускорение являются векторными величинами, их направления могут не совпадать. Разложение ускорения на тангенциальную (aτ) и нормальную (an) составляющие особенно важно для движения по кривой:
$$ a_\tau = \frac{d|\mathbf{v}|}{dt}, \quad a_n = \frac{v^2}{R}, $$
где R — радиус кривизны траектории.
Криволинейное движение Для криволинейного движения используют естественные параметры траектории: длину дуги s и радиус кривизны R. Вектор ускорения раскладывается на компоненты:
a = aτt + ann,
где t — единичный вектор касательной, n — единичный нормальный вектор, направленный к центру кривизны.
Прямолинейное движение — частный случай, где R → ∞ и an = 0.
Движение с постоянным ускорением Для двумерного движения с постоянным ускорением a справедливы векторные уравнения:
$$ \mathbf{v}(t) = \mathbf{v}_0 + \mathbf{a}t, \quad \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}_0 + \mathbf{v}_0 t + \frac{1}{2}\mathbf{a}t^2. $$
Компонентное разложение:
$$ x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{1}{2} a_x t^2, \quad y(t) = y_0 + v_{0y} t + \frac{1}{2} a_y t^2, $$
$$ z(t) = z_0 + v_{0z} t + \frac{1}{2} a_z t^2 \quad \text{(для 3D)}. $$
Эти уравнения описывают движение параболическое в случае постоянной силы (например, гравитации).
Движение по окружности Скорость движущейся точки постоянной по модулю v по окружности радиуса R направлена по касательной. Центростремительное ускорение:
$$ a_c = \frac{v^2}{R}, $$
направлено к центру окружности. Для непостоянной скорости вводится тангенциальная компонента ускорения aτ = dv/dt.
Связь с законами Ньютона Векторная форма второго закона Ньютона в 3D:
F = ma.
Компонентное разложение позволяет рассматривать движение по отдельным осям:
$$ F_x = m \ddot{x}, \quad F_y = m \ddot{y}, \quad F_z = m \ddot{z}. $$
Это особенно удобно для решения задач с независимыми силами вдоль координатных осей (например, движение тела в гравитационном поле и сопротивлении воздуха).
Примеры движения в двух и трёх измерениях
Движение под углом к горизонту (проекция траектории на плоскость x-y) Ускорение ay = −g, ax = 0. Решение уравнений движения:
$$ x(t) = v_0 \cos\theta \, t, \quad y(t) = v_0 \sin\theta \, t - \frac{1}{2} g t^2. $$
Движение тела по наклонной плоскости Разложение силы тяжести вдоль осей координат позволяет использовать те же уравнения прямолинейного движения с постоянным ускорением.
Трёхмерное движение под действием центральной силы Для сил, направленных к фиксированной точке (например, гравитационных), ускорение всегда направлено вдоль радиуса r: a = f(r)r/r. Законы сохранения (импульса и момента импульса) упрощают решение траекторий.
Полярная и сферическая системы координат Для движения в плоскости удобны полярные координаты (r, φ):
$$ \mathbf{r} = r \mathbf{e}_r, \quad \mathbf{v} = \dot{r} \mathbf{e}_r + r \dot{\varphi} \mathbf{e}_\varphi, \quad \mathbf{a} = (\ddot{r} - r \dot{\varphi}^2) \mathbf{e}_r + (r \ddot{\varphi} + 2 \dot{r} \dot{\varphi}) \mathbf{e}_\varphi. $$
В трёх измерениях используют сферические координаты (r, θ, φ), что позволяет разложить ускорение на радиальную и угловые компоненты:
$$ \mathbf{a} = (\ddot{r} - r \dot{\theta}^2 - r \sin^2\theta \, \dot{\varphi}^2) \mathbf{e}_r + (r \ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta} - r \sin\theta \cos\theta \, \dot{\varphi}^2) \mathbf{e}_\theta + (r \sin\theta \ddot{\varphi} + 2 \dot{r} \sin\theta \dot{\varphi} + 2 r \cos\theta \dot{\theta} \dot{\varphi}) \mathbf{e}_\varphi. $$
Эти выражения критически важны для задач механики планет, спутников и молекул.
Ключевые моменты