Движение в одном измерении — это движение тела вдоль прямой линии, которое можно полностью описать с помощью одной координаты, зависящей от времени. Такой подход упрощает анализ механических процессов и служит фундаментом для изучения более сложных систем.
Ключевыми величинами при описании движения являются:
$$ v(t) = \frac{dx}{dt}. $$
$$ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}. $$
Равномерное движение характеризуется постоянной скоростью v = const и нулевым ускорением a = 0. Уравнение движения в этом случае имеет вид:
x(t) = x0 + vt,
где x0 — начальное положение тела.
Особенности:
При равномерном ускорении ускорение a = const и скорость изменяется линейно во времени:
v(t) = v0 + at,
где v0 — начальная скорость.
Координата тела при равноускоренном движении определяется формулой:
$$ x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2. $$
Ключевые моменты:
v2 = v02 + 2aΔx.
Свободное падение — частный случай равноускоренного движения, при котором телу действует только сила тяжести. На Земле ускорение свободного падения g ≈ 9.8 м/с2.
v(t) = v0 + gt.
$$ y(t) = y_0 + v_0 t + \frac{1}{2} g t^2. $$
Примечание: при движении вверх ускорение направлено вниз, поэтому в формулах для ускорения следует учитывать знак.
Если ускорение зависит от времени a(t) или координаты a(x), движение становится более сложным. Для описания используется интегрирование:
v(t) = v0 + ∫0ta(t′) dt′.
$$ v \frac{dv}{dx} = a(x) \quad \Rightarrow \quad v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{x} a(x') dx'. $$
Эти подходы позволяют описывать движение тел под действием различных сил.
Графики координаты, скорости и ускорения — мощный инструмент для анализа:
Δx = ∫v(t)dt.
Δv = ∫a(t)dt.
Для движения в одном измерении второй закон Ньютона записывается как:
F = ma,
где F — сумма сил, действующих на тело, m — масса тела, а a — ускорение вдоль линии движения.
Следствия: