Движение в одном измерении

Движение в одном измерении — это движение тела вдоль прямой линии, которое можно полностью описать с помощью одной координаты, зависящей от времени. Такой подход упрощает анализ механических процессов и служит фундаментом для изучения более сложных систем.

Ключевыми величинами при описании движения являются:

  • Координата x(t) — положение тела в пространстве в момент времени t.
  • Смещение Δx = x2 − x1 — изменение координаты тела между двумя моментами времени.
  • Скорость v(t) — скорость изменения координаты во времени:

$$ v(t) = \frac{dx}{dt}. $$

  • Ускорение a(t) — скорость изменения скорости:

$$ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}. $$


Равномерное движение

Равномерное движение характеризуется постоянной скоростью v = const и нулевым ускорением a = 0. Уравнение движения в этом случае имеет вид:

x(t) = x0 + vt,

где x0 — начальное положение тела.

Особенности:

  • Смещение прямо пропорционально времени.
  • График x(t) представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом, равным скорости.
  • Скорость остается неизменной на всём протяжении движения.

Равноускоренное движение

При равномерном ускорении ускорение a = const и скорость изменяется линейно во времени:

v(t) = v0 + at,

где v0 — начальная скорость.

Координата тела при равноускоренном движении определяется формулой:

$$ x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2. $$

Ключевые моменты:

  • Ускорение a может быть положительным (ускорение) или отрицательным (торможение).
  • Если известны скорость и перемещение, можно использовать формулу:

v2 = v02 + 2aΔx.

  • График x(t) является параболой, а график v(t) — прямой линией.

Свободное падение

Свободное падение — частный случай равноускоренного движения, при котором телу действует только сила тяжести. На Земле ускорение свободного падения g ≈ 9.8 м/с2.

  • Уравнение скорости при падении:

v(t) = v0 + gt.

  • Уравнение координаты:

$$ y(t) = y_0 + v_0 t + \frac{1}{2} g t^2. $$

Примечание: при движении вверх ускорение направлено вниз, поэтому в формулах для ускорения следует учитывать знак.


Движение с переменной скоростью

Если ускорение зависит от времени a(t) или координаты a(x), движение становится более сложным. Для описания используется интегрирование:

  • Если a = a(t), скорость вычисляется как:

v(t) = v0 + ∫0ta(t′) dt′.

  • Если a = a(x), можно использовать формулу:

$$ v \frac{dv}{dx} = a(x) \quad \Rightarrow \quad v^2 = v_0^2 + 2 \int_{x_0}^{x} a(x') dx'. $$

Эти подходы позволяют описывать движение тел под действием различных сил.


Графический анализ движения

Графики координаты, скорости и ускорения — мощный инструмент для анализа:

  1. График x(t) показывает изменение положения тела. Наклон кривой отражает скорость.
  2. График v(t) отражает мгновенную скорость. Площадь под кривой равна перемещению:

Δx = ∫v(t)dt.

  1. График a(t) показывает изменение скорости. Площадь под графиком равна изменению скорости:

Δv = ∫a(t)dt.


Основные типы движения в одном измерении

  1. Равномерное движениеv = const, a = 0.
  2. Равноускоренное движениеa = const, скорость изменяется линейно.
  3. Свободное падение — частный случай равноускоренного движения с a = g.
  4. Движение с переменным ускорением — ускорение зависит от времени или координаты.

Связь с законами Ньютона

Для движения в одном измерении второй закон Ньютона записывается как:

F = ma,

где F — сумма сил, действующих на тело, m — масса тела, а a — ускорение вдоль линии движения.

Следствия:

  • При равномерном движении сила равна нулю.
  • При равноускоренном движении сила постоянна и совпадает с массой, умноженной на ускорение.
  • Любые силы, зависящие от скорости или координаты, создают сложное, переменноускоренное движение.