Движение тел в центральных силовых полях представляет собой фундаментальную область классической механики, в которой частица подвержена действию силы, направленной строго к фиксированной точке (центру поля) или от неё. Центральное силовое поле характеризуется тем, что сила F зависит только от расстояния r до центра поля и направлена радиально:
$$ \mathbf{F}(\mathbf{r}) = F(r) \frac{\mathbf{r}}{r}, $$
где r — радиус-вектор частицы относительно центра поля, r = |r|. Важной особенностью является симметрия: движение происходит в плоскости, проходящей через центр поля, что вытекает из закона сохранения момента импульса.
Для частицы массы m в центральном поле справедливы уравнения Ньютона:
$$ m \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}(\mathbf{r}) = F(r) \frac{\mathbf{r}}{r}. $$
Определим момент импульса относительно центра поля:
L = r × mv.
Дифференцирование по времени даёт:
$$ \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = 0, $$
так как сила направлена вдоль радиуса. Следовательно, момент импульса сохраняется:
L = const.
Сохранение момента импульса гарантирует, что движение происходит в одной плоскости, перпендикулярной вектору L.
Кинетическая энергия частицы:
$$ T = \frac{1}{2} m \dot{\mathbf{r}}^2. $$
Полная механическая энергия:
$$ E = T + U(r) = \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2) + U(r), $$
где φ — полярный угол в плоскости движения, $\dot{\varphi} = \frac{L}{m r^2}$. Подставив это выражение, получаем так называемый эффективный потенциал:
$$ U_{\text{eff}}(r) = U(r) + \frac{L^2}{2 m r^2}. $$
Это позволяет редуцировать задачу к одномерному движению вдоль радиуса:
$$ \frac{1}{2} m \dot{r}^2 + U_{\text{eff}}(r) = E. $$
С использованием полярных координат и закона сохранения момента импульса можно вывести дифференциальное уравнение орбиты:
$$ \frac{d^2 u}{d \varphi^2} + u = -\frac{m}{L^2 u^2} F\left(\frac{1}{u}\right), \quad u = \frac{1}{r}. $$
Это уравнение позволяет находить форму траектории частицы для любого центрального поля. В частности, для закона силы Кеплера $F(r) = - \frac{k}{r^2}$ получаем:
$$ \frac{d^2 u}{d \varphi^2} + u = \frac{m k}{L^2}, $$
решение которого представляет собой конусные сечения:
$$ r(\varphi) = \frac{p}{1 + e \cos(\varphi)}, $$
где $p = \frac{L^2}{m k}$ — параметр орбиты, а e — её эксцентриситет.
Для обратноквадратного закона силы выполняются законы Кеплера:
$$ \frac{dS}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \dot{\varphi} = \text{const}. $$
Если сила центрального поля имеет иной радиус-зависимый вид, например F(r) = −kr (гармонический осциллятор), то орбиты остаются замкнутыми, но их форма — эллиптическая с центром в начале координат, а период движения не зависит от амплитуды.
Для более сложных степенных зависимостей F(r) ∼ rn форма орбит и их замкнутость зависят от показателя n, а аналитические решения могут существовать только для отдельных значений n (например, n = −2 и n = 1).
При отклонении от идеального обратноквадратного закона, например из-за релятивистских поправок или влияния других тел, орбита перестает быть строго замкнутой. В этом случае проявляется прецессия орбиты, которая может быть рассчитана через поправку к эффективному потенциалу:
$$ U_{\text{eff}}(r) = -\frac{k}{r} + \frac{L^2}{2 m r^2} + \delta U(r), $$
где δU(r) — малая возмущающая потенциальная энергия. Величина прецессии определяется с помощью линейного анализа возмущений.
Эта теория является фундаментом для понимания движения планет, спутников и частиц в поле центральной силы, а также служит отправной точкой для анализа более сложных систем в небесной механике и атомной физике.