Элементы тензорного анализа

Тензорный анализ представляет собой математический аппарат, обеспечивающий универсальный способ описания физических величин, которые зависят от системы координат. В классической механике тензоры используются для описания напряжений, деформаций, инерционных свойств тел и других многомерных величин, где скалярные и векторные методы оказываются недостаточными.

Скалярные, векторные и тензорные величины

Скалярные величины — это величины, полностью характеризуемые числом и не зависящие от выбора системы координат: масса, температура, энергия.

Векторные величины — имеют направление и величину и преобразуются при смене системы координат по правилу линейного преобразования: v⃗′ = Av⃗, где A — матрица перехода. Примеры: скорость, сила, ускорение.

Тензорные величины — обобщение векторов и скаляров. Тензор второго ранга Tij характеризует линейное отображение вектора в вектор:

vi′ = Tijvj.

Здесь индексы i, j обозначают компоненты векторов, а сумма по повторяющимся индексам предполагается по правилу Эйнштейна.

Преобразование тензоров

Пусть xi и x̄i — координаты в двух системах. Тогда тензор первого ранга (вектор) преобразуется как:

$$ \bar{v}^i = \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^j} v^j. $$

Тензор второго ранга:

$$ \bar{T}^{ij} = \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^k} \frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^l} T^{kl}. $$

Общее правило: каждый верхний индекс (контравариантный) преобразуется через матрицу Якоби преобразования координат, а нижний индекс (ковариантный) — через обратную матрицу.

Ковариантные и контравариантные компоненты

  • Контравариантные компоненты vi соответствуют направлению изменения координат в пространстве.
  • Ковариантные компоненты vi связаны с градиентами скалярных полей и линейными функционалами на векторы.

Связь между ними обеспечивается метрическим тензором gij:

vi = gijvj,  vi = gijvj,

где gij — обратная матрица к gij.

Основные операции с тензорами

  1. Сложение и вычитание: тензоры одинакового ранга складываются по компонентам:

(T + S)ij = Tij + Sij.

  1. Умножение на скаляр:

(αT)ij = αTij.

  1. Тензорное произведение: если Ai и Bj — векторы, то AiBj — тензор второго ранга.

  2. Сведение индексов (суммирование):

Tii = ∑iTii,

что дает скаляр (след тензора).

  1. Контракция: сокращение по паре верхнего и нижнего индекса, уменьшает ранг тензора на 2.

Симметрия и антисимметрия тензоров

Тензоры второго ранга могут быть разложены на симметричную и антисимметричную части:

$$ T_{ij} = \frac{1}{2} (T_{ij} + T_{ji}) + \frac{1}{2} (T_{ij} - T_{ji}) = S_{ij} + A_{ij}. $$

  • Sij = Sji — симметричная часть, часто используется для описания напряжений.
  • Aij = −Aji — антисимметричная часть, важна для вращательных моментов и вихрей.

Тензоры в классической механике

  1. Инерционный тензор Iij описывает распределение массы относительно осей вращения:

Iij = ∑αmα(δijrα2 − rαirαj).

Используется для вычисления момента инерции при вращении тела.

  1. Тензор напряжений σij в деформируемом теле: характеризует внутренние силы:

fi = ∂jσij.

  1. Тензор деформаций εij выражает относительные смещения в теле:

$$ \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} (\partial_i u_j + \partial_j u_i), $$

где ui — компоненты вектора смещения.

Дифференциальные операции с тензорами

  • Градиент векторного поля: ∂ivj — тензор второго ранга.
  • Дивергенция тензора второго ранга: ∂jTij — вектор.
  • Ротор векторного поля (в трёхмерном пространстве) через антисимметричный тензор:

(rot v⃗)i = ϵijk∂jvk,

где ϵijk — символ Леви-Чивиты.

Метрический тензор и скалярное произведение

Метрический тензор gij позволяет определять длину вектора и угол между векторами:

|v⃗|2 = gijvivj,  v⃗ ⋅ w⃗ = gijviwj.

В декартовой системе gij = δij, в криволинейных координатах gij может зависеть от координат.

Тензорные формы записи законов механики

Использование тензоров обеспечивает инвариантность физических законов при любых координатных преобразованиях:

  1. Второй закон Ньютона (векторная форма):

$$ m \frac{d v^i}{dt} = F^i. $$

В тензорной форме для системы частиц:

$$ \frac{d}{dt} \sum_\alpha m_\alpha v_\alpha^i = \sum_\alpha F_\alpha^i. $$

  1. Законы сохранения (импульса и момента импульса): формулируются через тензоры инерции и напряжений, что позволяет обобщать их на непрерывные среды.
Оглавление