Энергия и импульс в теории относительности

Релятивистский импульс

В классической механике импульс частицы определяется как произведение массы на скорость:

p = mv.

Однако при скоростях, сравнимых со скоростью света c, эта формула перестаёт быть адекватной. В релятивистской механике вводится понятие релятивистского импульса, который учитывает релятивистский рост массы при увеличении скорости:

p = γmv,

где

$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$

— это фактор Лоренца, m — собственная масса частицы (инвариантная), а v — скорость частицы относительно инерциальной системы отсчета. Ключевое свойство релятивистского импульса заключается в том, что он сохраняется во всех инерциальных системах, при условии отсутствия внешних сил.

Релятивистская энергия

В релятивистской механике энергия частицы также получает новую форму:

E = γmc2.

Эта формула объединяет покоящуюся энергию E0 = mc2 и кинетическую энергию. Разложение релятивистской энергии на покоящуюся и кинетическую части даёт:

E = E0 + T,  T = (γ − 1)mc2,

где T — релятивистская кинетическая энергия. При малых скоростях v ≪ c релятивистская формула переходит в классическую:

$$ T \approx \frac{1}{2} m v^2. $$

Связь энергии и импульса

Главным результатом релятивистской механики является фундаментальное соотношение между энергией и импульсом частицы:

E2 = (pc)2 + (mc2)2.

Это уравнение показывает, что энергия состоит из двух частей: части, связанной с импульсом, и части, связанной с массой. Для частиц, движущихся со скоростью света (например, фотонов), масса m = 0, и уравнение упрощается до:

E = pc.

Консервация релятивистских величин

В замкнутой системе, где отсутствуют внешние воздействия, выполняются законы сохранения релятивистской энергии и релятивистского импульса. Для системы нескольких частиц это записывается в векторной форме через 4-импульс:

$$ P^\mu = \begin{pmatrix} E/c \\ \mathbf{p} \end{pmatrix}, $$

и закон сохранения принимает вид:

∑iPiμ = const.

Здесь Pμ — четырёхмерный импульс, который инвариантен относительно преобразований Лоренца. Использование 4-импульса позволяет единообразно рассматривать столкновения частиц, включая процессы рождения и аннигиляции.

Релятивистская кинетическая энергия и работа

Работа силы в релятивистской механике определяется по аналогии с классической:

dW = F ⋅ dr.

Однако при релятивистских скоростях импульс меняется по закону:

$$ \mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \frac{d}{dt} (\gamma m \mathbf{v}). $$

Интегрирование силы вдоль траектории даёт кинетическую энергию:

T = ∫F ⋅ dr = (γ − 1)mc2.

Это подчёркивает, что релятивистская кинетическая энергия растёт быстрее, чем классическая $\frac{1}{2} m v^2$, по мере приближения скорости к c.

Примеры применения

  1. Столкновения частиц в ускорителях. Использование релятивистских формул для импульса и энергии позволяет точно рассчитывать продукты столкновения, их скорости и массы.

  2. Аннигиляция частиц. Электрон и позитрон при аннигиляции превращаются в фотоны. Закон сохранения 4-импульса обеспечивает:

    mec2 + mec2 = Eγ1 + Eγ2,  pсистема = pγ1 + pγ2.

  3. Энергия фотонов. Для фотонов масса равна нулю, и вся энергия связана с импульсом:

    E = pc = hν.

Особенности релятивистского подхода

  • При v → c масса частицы остаётся инвариантной, но релятивистский импульс и энергия стремятся к бесконечности. Это отражает невозможность разогнать материальную частицу до скорости света.
  • Понятия кинетической энергии и работы сохраняются, но требуют использования γ-фактора.
  • Применение 4-векторов упрощает анализ сложных процессов и делает законы сохранения полностью ковариантными.

Релятивистская механика позволяет связать массу, энергию и импульс в единую структуру и служит фундаментом для описания всех высокоскоростных процессов в физике частиц и астрофизике.

Оглавление