Фазовое пространство и статистические ансамбли

Фазовое пространство — фундаментальное понятие в классической механике, позволяющее описывать состояние механической системы полной информацией о её координатах и импульсах. Для системы с N степенями свободы её состояние в каждый момент времени задается вектором в 6N-мерном фазовом пространстве:

Γ = (q1, q2, …, qN, p1, p2, …, pN),

где qi — обобщенные координаты, а pi — соответствующие обобщенные импульсы. Фазовое пространство представляет собой геометрическую платформу, на которой эволюция системы может быть визуализирована и формализована через динамические уравнения.

Основные свойства фазового пространства

  1. Разделимость координат и импульсов. В фазовом пространстве координаты qi и импульсы pi рассматриваются как независимые переменные. Это обеспечивает возможность построения полного описания системы без потери информации.

  2. Размерность фазового пространства. Для системы с N частицами, каждая из которых имеет три координаты и три компоненты импульса, размерность фазового пространства равна 6N. В случае более абстрактных систем с f степенями свободы размерность равна 2f.

  3. Эволюция в фазовом пространстве. Движение системы описывается траекторией в фазовом пространстве, которая удовлетворяет уравнениям Гамильтона:

    $$ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}, $$

    где H(q, p, t) — гамильтониан системы. Траектории не пересекаются, что отражает детерминированность классической механики.

  4. Сохранение фазового объёма (теорема Лиувилля). В соответствии с теоремой Лиувилля, фазовый объём, занимаемый замкнутой системой в фазовом пространстве, остается постоянным при эволюции:

    $$ \frac{d\rho}{dt} = 0, $$

    где ρ — плотность точек в фазовом пространстве. Это является ключевым свойством, обеспечивающим обоснование статистической механики.

Плотность вероятности и распределение в фазовом пространстве

Для макроскопических систем полезно рассматривать не отдельные траектории, а распределение точек в фазовом пространстве. Пусть ρ(q, p, t) — плотность вероятности нахождения системы в состоянии (q, p) в момент времени t. Тогда её эволюция подчиняется уравнению Лиувилля:

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \sum_{i=1}^{N} \left( \frac{\partial \rho}{\partial q_i} \dot{q}_i + \frac{\partial \rho}{\partial p_i} \dot{p}_i \right) = 0. $$

Это уравнение является аналогом закона сохранения для плотности в фазовом пространстве и лежит в основе всех статистических описаний классических систем.

Статистические ансамбли

Статистический ансамбль — идеализированная совокупность большого числа копий системы, распределенных по фазовому пространству согласно некоторому закономерному правилу. Ансамбли позволяют описывать макроскопические свойства через средние значения.

Основные виды ансамблей:

  1. Микроканонический ансамбль Описывает систему с фиксированной энергией E, объемом V и числом частиц N. Все состояния с данной энергией считаются равновероятными. Плотность вероятности в фазовом пространстве:

    $$ \rho(\mathbf{q}, \mathbf{p}) = \begin{cases} \text{const}, & H(\mathbf{q}, \mathbf{p}) = E, \\ 0, & \text{иначе.} \end{cases} $$

  2. Канонический ансамбль Применим для систем в тепловом контакте с резервуаром при температуре T. Вероятность нахождения системы в состоянии (q, p) задается распределением Больцмана:

    $$ \rho(\mathbf{q}, \mathbf{p}) = \frac{1}{Z} e^{-H(\mathbf{q}, \mathbf{p})/k_B T}, $$

    где Z — функция разделения, обеспечивающая нормировку, а kB — постоянная Больцмана.

  3. Гранд-канонический ансамбль Используется, когда система может обмениваться частицами и энергией с резервуаром. Вероятность определяется через химический потенциал μ:

    $$ \rho(\mathbf{q}, \mathbf{p}, N) = \frac{1}{\Xi} e^{-(H(\mathbf{q}, \mathbf{p}) - \mu N)/k_B T}, $$

    где Ξ — гранд-каноническая функция разделения.

Средние значения и макроскопические величины

Макроскопические величины системы определяются через средние по ансамблю:

⟨A⟩ = ∫A(q, p)ρ(q, p) dq dp.

Это позволяет связывать микроскопические характеристики (координаты и импульсы) с наблюдаемыми величинами: давлением, внутренней энергией, температурой и др.

Эргодическая гипотеза

Одним из фундаментальных предположений статистической механики является эргoдическая гипотеза, утверждающая, что усреднение по времени для одной системы совпадает с усреднением по ансамблю:

$$ \overline{A} = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_0^T A(t) \, dt = \langle A \rangle. $$

Это позволяет использовать ансамбли для описания реальных макроскопических систем, не рассматривая все индивидуальные траектории.

Важные свойства ансамблей и фазового пространства

  • Нормировка плотности: ∫ρ(q, p) dq dp = 1.
  • Аддитивность: для некоррелированных систем полная плотность равна произведению плотностей отдельных систем.
  • Связь с термодинамикой: статистические ансамбли позволяют напрямую вывести термодинамические функции (энергию, энтропию, свободную энергию) через микроскопические параметры.

Заключение по роли фазового пространства

Фазовое пространство и статистические ансамбли обеспечивают мост между микроскопической механикой и макроскопической термодинамикой. Они позволяют формализовать вероятностный подход к динамике многокомпонентных систем, обеспечивая возможность предсказывать средние свойства без необходимости отслеживать каждую траекторию. Понимание структуры фазового пространства, теоремы Лиувилля и различных ансамблей является фундаментом для дальнейшего изучения статистической механики и термодинамики.

Оглавление