Гармонический осциллятор

Гармонический осциллятор представляет собой одну из фундаментальных моделей классической механики, позволяющую описывать широкий спектр колебательных процессов. Под гармоническими осцилляциями понимаются такие движения, при которых восстанавливающая сила пропорциональна смещению системы от положения равновесия и направлена в сторону этого положения.

Математическая строгость и простота этой модели делает её универсальной: от микромира атомных колебаний до макроскопических систем, таких как маятники, пружинные системы, механические и электрические резонаторы.

Основное уравнение движения

Рассмотрим материальную точку массы m, закреплённую на пружине с коэффициентом жёсткости k. Пусть точка может двигаться только вдоль прямой линии. Если x — смещение точки от положения равновесия, то на неё действует сила

F = −kx.

Согласно второму закону Ньютона:

$$ m\ddot{x} = -kx, $$

или

$$ \ddot{x} + \omega_0^2 x = 0, $$

где

$$ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} $$

— собственная угловая частота колебаний.

Это уравнение называется уравнением гармонического осциллятора.

Решение уравнения и форма колебаний

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

x(t) = Acos (ω0t + φ0),

где

  • A — амплитуда колебаний,
  • φ0 — начальная фаза, определяемая начальными условиями,
  • ω0 — собственная частота.

Таким образом, движение описывается гармоническим законом, а система совершает периодические колебания с периодом

$$ T = \frac{2\pi}{\omega_0}. $$

Энергия гармонического осциллятора

Гармонический осциллятор — консервативная система. Полная механическая энергия складывается из кинетической и потенциальной:

$$ E = T + U = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2}kx^2. $$

Так как отсутствуют силы трения, энергия сохраняется, оставаясь постоянной величиной, зависящей только от амплитуды:

$$ E = \frac{1}{2}kA^2. $$

  • При максимальном смещении (x = ±A) энергия полностью потенциальна.
  • При прохождении через равновесие (x = 0) энергия полностью кинетическая.

Эта периодическая трансформация энергии отражает фундаментальный характер осциллятора.

Фазовое пространство и траектория

Для удобства анализа используют фазовое пространство, где по осям откладываются координата x и скорость ẋ.

  • Уравнение в этом пространстве имеет вид эллипса:

$$ \frac{x^2}{A^2} + \frac{\dot{x}^2}{(\omega_0 A)^2} = 1. $$

  • Каждая точка эллипса соответствует определённому состоянию системы.
  • Движение по замкнутой траектории подчёркивает периодичность и устойчивость осциллятора.

Малые колебания и линейное приближение

Гармонический осциллятор возникает не только в пружинной модели. Любая система, находящаяся вблизи положения устойчивого равновесия, подчиняется аналогичным законам.

Если потенциальная энергия системы разложена в ряд Тейлора около положения равновесия x = x0:

$$ U(x) \approx U(x_0) + \frac{1}{2}k(x - x_0)^2, $$

то первый ненулевой член квадратичного порядка определяет эквивалентный коэффициент жёсткости. Таким образом, для малых колебаний любое сложное движение можно аппроксимировать гармоническим осциллятором.

Затухающие колебания

В реальных условиях силы трения и сопротивления среды всегда присутствуют. Пусть сила сопротивления пропорциональна скорости:

Fтр = −bẋ.

Уравнение движения примет вид:

$$ m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0, $$

или

$$ \ddot{x} + 2\beta \dot{x} + \omega_0^2 x = 0, $$

где $\beta = \tfrac{b}{2m}$.

В зависимости от соотношения β и ω0 различают:

  • слабое затухание (β < ω0): система совершает колебания с постепенно уменьшающейся амплитудой,
  • критическое затухание (β = ω0): возвращение к равновесию за минимальное время без колебаний,
  • сильное затухание (β > ω0): система медленно возвращается к равновесию, не совершая колебаний.

Вынужденные колебания и резонанс

Если к системе приложена внешняя периодическая сила F(t) = F0cos (ωt), то уравнение принимает вид:

$$ \ddot{x} + 2\beta \dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m}\cos(\omega t). $$

Общее решение складывается из затухающей собственной части и установившейся вынужденной составляющей.

Амплитуда установившихся колебаний выражается как

$$ A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (2\beta \omega)^2}}. $$

  • При совпадении частоты внешнего воздействия ω с собственной частотой ω0 возникает резонанс, сопровождающийся резким ростом амплитуды.
  • В реальных системах резонанс ограничивается затуханием, которое предотвращает бесконечный рост энергии.

Применения гармонического осциллятора

  1. Механика — колебания маятников, пружинных систем, вибрации конструкций.
  2. Акустика — звук как совокупность гармонических колебаний частиц воздуха.
  3. Электродинамика — электрические колебательные контуры (аналог механического осциллятора).
  4. Молекулярная физика — колебания атомов в молекулах и кристаллах.
  5. Квантовая механика — квантовый гармонический осциллятор является одной из базовых моделей с дискретным спектром уровней энергии.
Оглавление