Гироскоп — это твёрдое тело, обладающее высокой угловой скоростью вращения вокруг собственной оси и закреплённое таким образом, что ось вращения может изменять своё положение в пространстве. Классическим примером гироскопа является быстро вращающийся маховик, установленный в кардановом подвесе.
Главная особенность гироскопа заключается в том, что при воздействии внешнего момента сил его ось вращения изменяет своё направление не в плоскости действия момента, а под прямым углом к нему. Это явление называется гироскопическим эффектом.
Фундаментальная основа гироскопии опирается на законы динамики вращательного движения твёрдого тела, в частности — на закон сохранения момента импульса.
Для тела, вращающегося с угловой скоростью ω, момент импульса выражается как
L = Iω,
где I — тензор инерции тела относительно выбранной системы координат.
Если к телу не приложен внешний момент сил, то
$$ \frac{d\mathbf{L}}{dt} = 0, $$
и момент импульса остаётся постоянным. Это означает, что ось гироскопа сохраняет своё направление в пространстве. Именно эта способность и используется в приборах ориентации.
Если же к гироскопу приложен внешний момент M, то
$$ \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{M}. $$
В отличие от поступательного движения, здесь важен не сам момент импульса, а направление изменения вектора. Поскольку M всегда перпендикулярен к оси гироскопа, то и изменение вектора L происходит в направлении, перпендикулярном приложенному моменту.
Предположим, что вращающийся ротор гироскопа закреплён так, что его ось может изменять направление. Если приложить к гироскопу силу, создающую момент относительно оси подвеса, то ось гироскопа не повернётся в сторону силы, а начнёт поворачиваться в перпендикулярном направлении.
Это и есть гироскопический эффект. Его суть можно сформулировать так: ось вращения гироскопа реагирует на приложенный момент сил изменением своего направления под прямым углом к этому моменту.
Если на гироскоп действует постоянный момент, например, сила тяжести, приложенная к оси, то ось гироскопа начинает описывать конус вокруг вертикали. Это движение называется прецессией.
Угловая скорость прецессии определяется формулой
$$ \Omega = \frac{M}{I \omega}, $$
где
Таким образом, чем быстрее вращается ротор, тем медленнее происходит прецессия.
В реальных условиях прецессия сопровождается колебаниями оси гироскопа. Эти колебания называются нутированием. Нутирование возникает из-за того, что начальные условия или внешние возмущения нарушают чистую прецессию. Ось гироскопа начинает совершать сложное движение: она не только плавно поворачивается, но и колеблется относительно средней траектории.
Амплитуда нутирования уменьшается со временем из-за трения, и система стремится к установившейся прецессии.
Движение гироскопа описывается уравнениями Эйлера для твёрдого тела:
$$ \begin{aligned} I_1 \dot{\omega}_1 - (I_2 - I_3)\omega_2 \omega_3 &= M_1, \\ I_2 \dot{\omega}_2 - (I_3 - I_1)\omega_3 \omega_1 &= M_2, \\ I_3 \dot{\omega}_3 - (I_1 - I_2)\omega_1 \omega_2 &= M_3, \end{aligned} $$
где I1, I2, I3 — главные моменты инерции, ω1, ω2, ω3 — проекции угловой скорости, M1, M2, M3 — проекции внешнего момента.
Для симметричного гироскопа (I1 = I2) система значительно упрощается, что позволяет описывать основные свойства прецессии и нутирования.
Навигация и ориентация. Гироскопы являются основой гироскопических компасов, навигационных систем самолётов, кораблей, космических аппаратов. Их способность сохранять направление в пространстве позволяет определять курс без использования внешних ориентиров.
Стабилизация. Гироскопы используются в системах стабилизации: от фотокамер и беспилотников до морских судов. Они позволяют компенсировать случайные колебания и сохранять устойчивое положение.
Техника и транспорт. В двухколёсных транспортных средствах (например, экспериментальные гироскопические мотоциклы) гироскопический эффект обеспечивает устойчивость при движении.
Космические технологии. На спутниках и космических станциях гироскопы применяются для стабилизации ориентации без расхода топлива.