Рассмотрение вращательного движения твёрдого тела требует знания не только момента инерции относительно отдельных осей, но и общей структуры инерционных свойств тела. Для описания распределения масс в пространстве вводится тензор инерции — симметричный второй ранг тензора, который позволяет записывать динамические уравнения вращения в компактной форме. Однако вычисления значительно упрощаются, если удаётся выбрать такие оси координат, относительно которых тензор инерции принимает диагональный вид. Эти оси называются главными осями инерции.
Главные оси обладают важным свойством: относительно них произведения инерции обращаются в нуль, а моменты инерции принимают экстремальные значения. Таким образом, динамическое описание вращения относительно главных осей становится существенно проще.
Для твёрдого тела с плотностью ρ(r) и массой M, расположенного в декартовой системе координат Oxyz, элементы тензора инерции определяются как
Ixx = ∫Vρ(r)(y2 + z2) dV, Iyy = ∫Vρ(r)(x2 + z2) dV, Izz = ∫Vρ(r)(x2 + y2) dV,
а произведения инерции:
Ixy = −∫Vρ(r) xy dV, Ixz = −∫Vρ(r) xz dV, Iyz = −∫Vρ(r) yz dV.
Тензор инерции имеет матричное представление:
$$ \mathbf{I} = \begin{pmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{xy} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{xz} & I_{yz} & I_{zz} \end{pmatrix}. $$
Так как интеграл не зависит от выбора координатного начала, если оно совпадает с центром масс тела, тензор инерции является симметричной матрицей. Это гарантирует существование ортонормированного базиса, в котором он диагонализируется.
Главные оси инерции — это такие ортогональные оси, относительно которых тензор инерции диагонален, то есть произведения инерции равны нулю:
I′xy = I′xz = I′yz = 0.
В этом случае матрица тензора инерции принимает вид:
$$ \mathbf{I}' = \begin{pmatrix} I_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_2 & 0 \\ 0 & 0 & I_3 \end{pmatrix}, $$
где I1, I2, I3 — главные моменты инерции.
Главные оси находятся как собственные векторы матрицы I, а главные моменты инерции — как её собственные значения. Уравнение для собственных значений имеет вид:
det (I − λE) = 0,
что приводит к кубическому уравнению относительно λ. Решения λ1, λ2, λ3 дают значения главных моментов инерции.
Главные моменты инерции и соответствующие им главные оси имеют глубокий геометрический смысл. Рассмотрим эллипсоид инерции, задаваемый уравнением:
Ixxx2 + Iyyy2 + Izzz2 + 2Ixyxy + 2Ixzxz + 2Iyzyz = 1.
Этот эллипсоид отображает распределение масс тела относительно центра масс. Оси эллипсоида совпадают с главными осями инерции, а квадраты длин полуосей обратно пропорциональны соответствующим главным моментам инерции. Таким образом, задача нахождения главных осей инерции сводится к нахождению ориентации главных осей эллипсоида инерции.
1. Однородный стержень длиной L, массой M. Если выбрать ось z вдоль стержня и начало координат в его центре, то моменты инерции относительно осей, перпендикулярных стержню:
$$ I_x = I_y = \frac{1}{12} M L^2, \quad I_z = 0. $$
Таким образом, ось стержня является главной осью, а две взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр и лежащие в плоскости, перпендикулярной стержню, также образуют систему главных осей.
2. Однородный прямоугольный параллелепипед с рёбрами a, b, c. При выборе центра масс в качестве начала координат и осей вдоль рёбер тензор инерции сразу диагонален:
$$ I_x = \tfrac{1}{12} M (b^2 + c^2), \quad I_y = \tfrac{1}{12} M (a^2 + c^2), \quad I_z = \tfrac{1}{12} M (a^2 + b^2). $$
Здесь оси, совпадающие с рёбрами параллелепипеда, являются главными.
3. Однородный шар радиуса R. Для шара все моменты инерции равны:
$$ I_x = I_y = I_z = \frac{2}{5} M R^2. $$
В этом случае любая ось, проходящая через центр, может считаться главной.
Рассмотрение вращения твёрдого тела относительно главных осей инерции существенно упрощает уравнения Эйлера. Если тело вращается вокруг одной из главных осей, то момент импульса сонаправлен с угловой скоростью, что значительно облегчает анализ движения. Это свойство используется при решении задач гироскопической динамики, в механике спутников и космических аппаратов, в авиации и инженерных расчётах устойчивости конструкций.