Главные оси инерции

Рассмотрение вращательного движения твёрдого тела требует знания не только момента инерции относительно отдельных осей, но и общей структуры инерционных свойств тела. Для описания распределения масс в пространстве вводится тензор инерции — симметричный второй ранг тензора, который позволяет записывать динамические уравнения вращения в компактной форме. Однако вычисления значительно упрощаются, если удаётся выбрать такие оси координат, относительно которых тензор инерции принимает диагональный вид. Эти оси называются главными осями инерции.

Главные оси обладают важным свойством: относительно них произведения инерции обращаются в нуль, а моменты инерции принимают экстремальные значения. Таким образом, динамическое описание вращения относительно главных осей становится существенно проще.


Тензор инерции и произведения инерции

Для твёрдого тела с плотностью ρ(r) и массой M, расположенного в декартовой системе координат Oxyz, элементы тензора инерции определяются как

Ixx = ∫Vρ(r)(y2 + z2) dV,  Iyy = ∫Vρ(r)(x2 + z2) dV,  Izz = ∫Vρ(r)(x2 + y2) dV,

а произведения инерции:

Ixy = −∫Vρ(r) xydV,  Ixz = −∫Vρ(r) xzdV,  Iyz = −∫Vρ(r) yzdV.

Тензор инерции имеет матричное представление:

$$ \mathbf{I} = \begin{pmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{xy} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{xz} & I_{yz} & I_{zz} \end{pmatrix}. $$

Так как интеграл не зависит от выбора координатного начала, если оно совпадает с центром масс тела, тензор инерции является симметричной матрицей. Это гарантирует существование ортонормированного базиса, в котором он диагонализируется.


Определение главных осей

Главные оси инерции — это такие ортогональные оси, относительно которых тензор инерции диагонален, то есть произведения инерции равны нулю:

Ixy = Ixz = Iyz = 0.

В этом случае матрица тензора инерции принимает вид:

$$ \mathbf{I}' = \begin{pmatrix} I_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_2 & 0 \\ 0 & 0 & I_3 \end{pmatrix}, $$

где I1, I2, I3 — главные моменты инерции.

Главные оси находятся как собственные векторы матрицы I, а главные моменты инерции — как её собственные значения. Уравнение для собственных значений имеет вид:

det (I − λE) = 0,

что приводит к кубическому уравнению относительно λ. Решения λ1, λ2, λ3 дают значения главных моментов инерции.


Геометрическая интерпретация

Главные моменты инерции и соответствующие им главные оси имеют глубокий геометрический смысл. Рассмотрим эллипсоид инерции, задаваемый уравнением:

Ixxx2 + Iyyy2 + Izzz2 + 2Ixyxy + 2Ixzxz + 2Iyzyz = 1.

Этот эллипсоид отображает распределение масс тела относительно центра масс. Оси эллипсоида совпадают с главными осями инерции, а квадраты длин полуосей обратно пропорциональны соответствующим главным моментам инерции. Таким образом, задача нахождения главных осей инерции сводится к нахождению ориентации главных осей эллипсоида инерции.


Свойства главных осей

  1. Ортогональность. Главные оси всегда взаимно перпендикулярны, что обусловлено симметрией тензора инерции.
  2. Существование в любом теле. Для любого твёрдого тела, каким бы сложным ни было его распределение масс, главные оси инерции всегда можно определить.
  3. Неединственность. В случае, когда два или три главных момента инерции совпадают, соответствующие главные оси могут быть выбраны произвольно в подпространстве, где происходит вырождение. Например, у шара все три главных момента равны, и любая ось, проходящая через центр, может считаться главной.
  4. Симметрия тела. Если тело обладает определённой геометрической симметрией, главные оси инерции совпадают с осями симметрии.

Примеры

1. Однородный стержень длиной L, массой M. Если выбрать ось z вдоль стержня и начало координат в его центре, то моменты инерции относительно осей, перпендикулярных стержню:

$$ I_x = I_y = \frac{1}{12} M L^2, \quad I_z = 0. $$

Таким образом, ось стержня является главной осью, а две взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр и лежащие в плоскости, перпендикулярной стержню, также образуют систему главных осей.

2. Однородный прямоугольный параллелепипед с рёбрами a, b, c. При выборе центра масс в качестве начала координат и осей вдоль рёбер тензор инерции сразу диагонален:

$$ I_x = \tfrac{1}{12} M (b^2 + c^2), \quad I_y = \tfrac{1}{12} M (a^2 + c^2), \quad I_z = \tfrac{1}{12} M (a^2 + b^2). $$

Здесь оси, совпадающие с рёбрами параллелепипеда, являются главными.

3. Однородный шар радиуса R. Для шара все моменты инерции равны:

$$ I_x = I_y = I_z = \frac{2}{5} M R^2. $$

В этом случае любая ось, проходящая через центр, может считаться главной.


Значение главных осей в динамике

Рассмотрение вращения твёрдого тела относительно главных осей инерции существенно упрощает уравнения Эйлера. Если тело вращается вокруг одной из главных осей, то момент импульса сонаправлен с угловой скоростью, что значительно облегчает анализ движения. Это свойство используется при решении задач гироскопической динамики, в механике спутников и космических аппаратов, в авиации и инженерных расчётах устойчивости конструкций.