Гравитационное поле

Гравитационное поле — это особый вид физического поля, через которое осуществляется универсальное взаимодействие между всеми материальными телами, обладающими массой. Оно характеризуется тем, что действует на любые тела без исключения, независимо от их внутреннего строения, электрического заряда или других свойств. Интенсивность гравитационного поля определяется распределением масс в пространстве.

Главным источником гравитационного поля является масса. Согласно закону всемирного тяготения Ньютона, сила взаимодействия двух точечных масс m1 и m2, разделённых расстоянием r, выражается формулой:

$$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}, $$

где G — гравитационная постоянная. Это взаимодействие носит характер дальнодействия и всегда является притягательным.

Напряжённость гравитационного поля

Для описания поля вводят векторную величину напряжённости гравитационного поля:

$$ \vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}, $$

где F⃗ — сила, действующая на пробную массу m.

В случае точечной массы M, создающей поле, напряжённость в точке, находящейся на расстоянии r, равна:

$$ \vec{g} = - G \frac{M}{r^2} \hat{r}. $$

Знак минус показывает, что направление вектора совпадает с направлением притяжения к источнику поля.

Напряжённость поля является фундаментальной величиной, позволяющей описывать гравитационное взаимодействие независимо от массы пробного тела.

Потенциал гравитационного поля

Гравитационное поле является потенциальным. Для него вводится гравитационный потенциал φ, определяемый как потенциальная энергия единичной массы в данной точке пространства:

$$ \varphi = \frac{U}{m}. $$

Потенциал точечной массы:

$$ \varphi = - G \frac{M}{r}. $$

Связь между напряжённостью и потенциалом выражается градиентом:

g⃗ = −∇φ.

Таким образом, направление поля всегда соответствует направлению наибыстрейшего убывания потенциала.

Суперпозиция гравитационного поля

Поскольку гравитационное поле подчиняется принципу суперпозиции, результирующая напряжённость в некоторой точке пространства равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых всеми массами:

g⃗ = ∑ig⃗i.

То же справедливо и для потенциала:

φ = ∑iφi.

Это позволяет вычислять распределение поля сложных систем тел, например планетных систем или распределённых масс.

Поле сферически симметричного тела

Особое значение имеет поле, создаваемое однородной сферой массы M и радиуса R.

  • Вне сферы (r ≥ R):

$$ \vec{g} = - G \frac{M}{r^2} \hat{r}, \quad \varphi = - G \frac{M}{r}. $$

  • Внутри сферы (r < R):

$$ \vec{g} = - G \frac{M r}{R^3} \hat{r}, \quad \varphi = - G \frac{M}{2R^3}\,(3R^2 - r^2). $$

Таким образом, внутри сферы напряжённость линейно возрастает от центра к поверхности, а в центре обращается в ноль.

Поле Земли

Для практических задач классической механики часто используется приближённое описание поля Земли. Вблизи её поверхности поле можно считать однородным:

g ≈ 9, 81 м/с2,

и направленным вертикально вниз. Это приближение справедливо, если высота движения тел много меньше радиуса Земли.

Для более точных вычислений учитывают:

  • изменение силы тяжести с высотой ($g \propto \frac{1}{r^2}$);
  • сжатие Земли на полюсах и центробежное действие вращения, которое уменьшает эффективное значение ускорения свободного падения на экваторе.

Линии и поверхности гравитационного поля

Линии напряжённости гравитационного поля всегда направлены к источнику массы. Они нигде не замкнуты, в отличие от, например, линий магнитного поля.

Эквипотенциальные поверхности представляют собой геометрические места точек, где потенциал имеет одно и то же значение. Для сферической массы это концентрические сферы. Движение вдоль эквипотенциальной поверхности не связано с изменением потенциальной энергии.

Потенциальная энергия взаимодействия

Для двух точечных масс m1 и m2, разделённых расстоянием r, потенциальная энергия выражается как:

$$ U = - G \frac{m_1 m_2}{r}. $$

Знак минус указывает, что при сближении тел энергия уменьшается. Для систем многих тел полная потенциальная энергия равна сумме попарных взаимодействий.

Теорема о движении центра масс в гравитационном поле

Система тел в гравитационном поле подчиняется теореме о движении центра масс. Центр масс системы движется так, как если бы вся масса была сосредоточена в этой точке и на неё действовали силы внешних тел.

Эта теорема лежит в основе анализа движения планет, спутников и любых сложных систем в астрономии и механике.

Связь с законами Кеплера

Гравитационное поле центрального типа объясняет законы Кеплера, выведенные из наблюдений за движением планет:

  1. Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
  2. Радиус-вектор, соединяющий планету с Солнцем, за равные промежутки времени описывает равные площади.
  3. Квадраты периодов обращения планет пропорциональны кубам больших полуосей их орбит.

Эти законы следуют из применения закона всемирного тяготения и законов Ньютона к задаче двух тел.

Уравнения Пуассона и Лапласа для гравитационного поля

В аналитическом описании гравитационного поля важны уравнения, связывающие потенциал с распределением масс.

  • Уравнение Пуассона:

∇2φ = 4πGρ,

где ρ — плотность массы.

  • Уравнение Лапласа (для областей вне распределения масс):

∇2φ = 0.

Эти уравнения являются основными в математической теории гравитационного поля.

Оглавление