Интерференция и дифракция механических волн

Интерференция представляет собой результат суперпозиции двух или более когерентных волн, при котором в пространстве образуется устойчивая картина усиления и ослабления колебаний. Основное условие возникновения регулярной интерференционной картины — когерентность источников, то есть наличие постоянной разности фаз между волнами.

Если в одной точке пространства накладываются две гармонические волны одинаковой частоты и амплитуды:

u1 = Acos (ωt − kx),  u2 = Acos (ωt − kx + φ),

то их сумма равна

$$ u = u_1 + u_2 = 2A \cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) \cos\left(\omega t - kx + \frac{\varphi}{2}\right). $$

Амплитуда результирующего колебания зависит от фазовой разности φ.

  • При φ = 2nπ (синфазные колебания) наблюдается интерференционный максимум: амплитуда равна 2A.
  • При φ = (2n + 1)π (противофазные колебания) возникает интерференционный минимум: амплитуда равна нулю.

Таким образом, интерференция может быть как конструктивной (усиление), так и деструктивной (ослабление).

Условие интерференции

Величина разности фаз определяется разностью хода волн:

$$ \varphi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta r, $$

где Δr — разность хода волн, λ — длина волны.

Условие максимумов:

Δr = mλ,  m ∈ ℤ.

Условие минимумов:

$$ \Delta r = \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda. $$

Интерференция ярко проявляется в акустике (звуковые волны), в механических колебаниях на струнах и мембранах, а также в стоячих волнах.

Стоячие волны как частный случай интерференции

Стоячая волна возникает при наложении двух встречных волн одинаковой частоты и амплитуды:

u = Acos (ωt − kx) + Acos (ωt + kx) = 2Acos (kx)cos (ωt).

В такой системе образуются узлы (точки, где смещение всегда равно нулю) и пучности (точки максимальной амплитуды). Это пример регулярной интерференционной картины, распределённой в пространстве.

Дифракция механических волн

Дифракция — это огибание волной препятствий или проникновение в область геометрической тени. В классической механике этот эффект наблюдается для звуковых волн, волн на воде и упругих волн в твёрдых телах.

Основная причина дифракции — волновая природа колебаний. Согласно принципу Гюйгенса, каждая точка фронта волны является источником вторичных волн, которые интерферируют друг с другом, формируя новый фронт.

Дифракция на щели

Пусть на узкую щель шириной d падает плоская гармоническая волна длиной λ. За щелью возникает система вторичных источников, и в удалённой области наблюдается распределение интенсивности:

$$ I(\theta) = I_0 \left( \frac{\sin(\beta)}{\beta} \right)^2, $$

где

$$ \beta = \frac{\pi d}{\lambda} \sin \theta, $$

θ — угол наблюдения, I0 — интенсивность в центре.

Картина представляет собой центральный максимум и последовательно ослабленные боковые максимумы и минимумы.

Дифракция на препятствии

Если волна встречает узкое препятствие, оно также становится источником вторичных волн. В результате в зоне геометрической тени волна частично присутствует. Этот эффект особенно заметен для звуковых волн, когда за колонной или деревом звук слышен, хотя прямая геометрическая линия закрыта.

Соотношение интерференции и дифракции

Интерференция и дифракция тесно связаны:

  • Интерференция — результат суперпозиции волн от нескольких когерентных источников.
  • Дифракция — процесс, в котором препятствие или щель становится множеством вторичных источников, и дальнейшая картина определяется их интерференцией.

Таким образом, дифракцию можно рассматривать как частный случай интерференции с бесконечным числом источников.

Примеры наблюдений в механике

  1. Звуковые волны: интерференционные максимумы и минимумы возникают при наложении звуковых волн от двух динамиков. При дифракции звук огибает препятствия и распространяется в область тени.
  2. Волны на воде: при падении волн на два отверстия в заграждении возникает характерная интерференционная картина. При дифракции волна огибает мыс или отдельный камень.
  3. Упругие волны в твёрдых телах: в акустической дефектоскопии интерференция и дифракция позволяют исследовать неоднородности материала.
Оглавление