Канонические коммутационные соотношения

Канонические коммутационные соотношения (ККС) являются фундаментальным инструментом в классической механике, особенно в аналитической и гамильтоновой формулировках. Они устанавливают строгие математические связи между обобщёнными координатами и импульсами и служат основой для перехода от классической механики к квантовой теории.

Обобщённые координаты и импульсы

В гамильтоновой формулировке механики состояние системы с n степенями свободы описывается множеством обобщённых координат qi и соответствующих обобщённых импульсов pi, i = 1, 2, …, n. Эти переменные образуют канонические пары (qi, pi). Гамильтониан H(q, p, t) определяет эволюцию системы через гамильтоновы уравнения:

$$ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}. $$

Здесь точка над символом обозначает производную по времени.

Определение канонических коммутационных соотношений

ККС выражаются через пуанкаревы скобки (классические аналоги коммутаторов в квантовой механике):

{qi, qj} = 0,  {pi, pj} = 0,  {qi, pj} = δij.

  • {A, B} — пуанкарева скобка двух функций A(q, p) и B(q, p) на фазовом пространстве,
  • δij — символ Кронекера, равный 1 при i = j и 0 иначе.

Ключевой смысл: обобщённые координаты коммутируют между собой, импульсы коммутируют между собой, но каждая координата «коммутирует» с соответствующим импульсом единичным образом.

Пуанкаревы скобки

Для двух произвольных функций A(q, p) и B(q, p) на фазовом пространстве определение пуанкаревых скобок имеет вид:

$$ \{A, B\} = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial B}{\partial p_i} - \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial B}{\partial q_i} \right). $$

Свойства пуанкаревых скобок:

  1. Антисимметрия: {A, B} = −{B, A}
  2. Линейность: {aA + bB, C} = a{A, C} + b{B, C}, где a, b — константы
  3. Лемма Жакоби: {A, {B, C}} + {B, {C, A}} + {C, {A, B}} = 0
  4. Правило произведения (левый и правый дифференциалы): {AB, C} = A{B, C} + {A, C}B

Эти свойства обеспечивают структуру линейной алгебры на фазовом пространстве, необходимую для согласованного описания динамики.

Преобразования и каноничность

Простейший пример канонического преобразования — переход к новым переменным (Qi, Pi), при котором сохраняются ККС:

{Qi, Qj} = 0,  {Pi, Pj} = 0,  {Qi, Pj} = δij.

Критерий каноничности: преобразование (q, p) → (Q, P) является каноническим, если пуанкаревы скобки между новыми переменными сохраняют форму ККС. Это позволяет:

  • упрощать гамильтониан,
  • вводить действия и углы (action-angle variables),
  • строить интегрируемые системы.

Эволюция наблюдаемых через ККС

Любая функция F(q, p, t), описывающая наблюдаемый, эволюционирует по правилу:

$$ \frac{dF}{dt} = \{F, H\} + \frac{\partial F}{\partial t}. $$

Это фундаментальное уравнение связывает динамику функции на фазовом пространстве с гамильтонианом и каноническими скобками. Для консервативной системы, где F не зависит явно от времени:

$$ \frac{dF}{dt} = \{F, H\}. $$

Если {F, H} = 0, то F является интегралом движения.

Примеры применения ККС

  1. Гармонический осциллятор: Гамильтониан: $H = \frac{p^2}{2m} + \frac{kq^2}{2}$ Канонические уравнения: q̇ = p/m, ṗ = −kq Проверка ККС: {q, p} = 1, {q, q} = 0, {p, p} = 0

  2. Центральное поле: Использование сферических координат (r, θ, ϕ) с соответствующими импульсами (pr, pθ, pϕ) требует проверки ККС в новой координатной системе. При корректном выборе моментов сохраняются канонические соотношения.

  3. Механика вращения: Для твердого тела с угловыми координатами Эйлера и каноническими моментами импульса также применимы ККС, что позволяет строить уравнения Эйлера в гамильтоновой форме.

Связь с квантовой механикой

ККС являются классическим предшественником коммутаторов в квантовой механике:

[q̂i, p̂j] = iℏδij  ↔︎  {qi, pj} = δij.

Пуанкаревы скобки переходят в квантовые коммутаторы с множителем iℏ, что обеспечивает фундаментальный мост между классической и квантовой теориями.

Итоговые ключевые моменты

  • Канонические переменные (qi, pi) формируют базис фазового пространства.
  • ККС выражаются через пуанкаревы скобки и определяют фундаментальные связи между координатами и импульсами.
  • Канонические преобразования сохраняют структуру ККС и позволяют упрощать динамику системы.
  • Эволюция любой функции наблюдаемого на фазовом пространстве определяется через пуанкаревы скобки с гамильтонианом.
  • ККС являются фундаментом для квантового обобщения через коммутаторы.
Оглавление