Канонические преобразования

Канонические преобразования играют фундаментальную роль в Гамильтоновой формулировке классической механики. Они позволяют изменить координаты и импульсы системы так, чтобы форма канонических уравнений Гамильтона сохранялась, облегчая решение задач и выявление интегралов движения.

1. Определение канонических преобразований

Каноническое преобразование — это такое преобразование обобщённых координат qi и обобщённых импульсов pi, при котором уравнения Гамильтона сохраняют свой вид:

$$ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} $$

Пусть (qi, pi) → (Qi, Pi). Преобразование является каноническим, если для нового набора переменных выполняются уравнения:

$$ \dot{Q}_i = \frac{\partial K}{\partial P_i}, \quad \dot{P}_i = -\frac{\partial K}{\partial Q_i}, $$

где K(Q, P, t) — новая гамильтонианская функция, связанная с H(q, p, t).

2. Критерии каноничности

Существует несколько эквивалентных критериев, по которым проверяется каноническое преобразование:

  1. Симплектическое условие: Если вектор-функция z = (q1, …, qn, p1, …, pn)T преобразуется в Z = (Q1, …, Qn, P1, …, Pn)T, каноническим будет преобразование, удовлетворяющее условию:

$$ \mathbf{J} = \frac{\partial \mathbf{Z}}{\partial \mathbf{z}}, \quad \mathbf{J}^T \mathbf{\Omega} \mathbf{J} = \mathbf{\Omega}, $$

где Ω — стандартная симплектическая матрица:

$$ \mathbf{\Omega} = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{pmatrix}. $$

  1. Сохранение пуассоновских скобок: Для канонического преобразования сохраняются фундаментальные пуассоновские скобки:

{Qi, Qj} = 0,  {Pi, Pj} = 0,  {Qi, Pj} = δij.

  1. Через генераторные функции: Любое каноническое преобразование может быть задано генераторной функцией F, которая зависит на выбор от исходных и новых переменных. Например, функции четырех типов:
  • F1(q, Q, t)
  • F2(q, P, t)
  • F3(p, Q, t)
  • F4(p, P, t)

Преобразование переменных осуществляется через дифференциалы F:

pi dqi − H dt = Pi dQi − K dt + dF

3. Генераторные функции

Генераторная функция F задает конкретное преобразование следующим образом:

  1. Тип 1: F1(q, Q, t)

$$ p_i = \frac{\partial F_1}{\partial q_i}, \quad P_i = -\frac{\partial F_1}{\partial Q_i}, \quad K = H + \frac{\partial F_1}{\partial t}. $$

  1. Тип 2: F2(q, P, t)

$$ p_i = \frac{\partial F_2}{\partial q_i}, \quad Q_i = \frac{\partial F_2}{\partial P_i}, \quad K = H + \frac{\partial F_2}{\partial t}. $$

  1. Тип 3: F3(p, Q, t)

$$ q_i = -\frac{\partial F_3}{\partial p_i}, \quad P_i = -\frac{\partial F_3}{\partial Q_i}, \quad K = H + \frac{\partial F_3}{\partial t}. $$

  1. Тип 4: F4(p, P, t)

$$ q_i = -\frac{\partial F_4}{\partial p_i}, \quad Q_i = \frac{\partial F_4}{\partial P_i}, \quad K = H + \frac{\partial F_4}{\partial t}. $$

Использование генераторных функций позволяет систематически строить канонические преобразования, упрощая интегрирование уравнений движения.

4. Примеры канонических преобразований

  1. Трансформация координат и импульсов через линейные комбинации:

Q = q + αp,  P = p

где α — постоянная. Это преобразование каноническое, так как сохраняются пуассоновские скобки.

  1. Прямое преобразование к действиям и углам (action-angle variables) для интегрируемых систем:

(q, p) → (J, θ),  H = H(J)

где J — константа движения (интеграл), θ — угловая переменная. Уравнения движения принимают вид:

$$ \dot{J} = 0, \quad \dot{\theta} = \frac{\partial H}{\partial J}. $$

  1. Временная зависимость гамильтониана через генераторную функцию: если выбрать F2 = qP − f(t), гамильтониан изменится на K = H + df/dt, что удобно для включения внешних сил.

5. Свойства канонических преобразований

  • Симплектическая структура сохраняется: сохраняется форма фазового объема, что отражает теорему Лиувилля о сохранении фазового потока.
  • Сохраняются интегралы движения: если известен интеграл в исходных координатах, каноническое преобразование не нарушает его сохранность.
  • Упрощение решения уравнений Гамильтона: с помощью канонических преобразований можно найти переменные, в которых гамильтониан зависит только от импульсов или координат, что делает систему тривиально интегрируемой.

6. Симплектическая матрица и формализм

Для системы с n степенями свободы введем вектор z = (q1, …, qn, p1, …, pn)T и гамильтониан H(z, t). Уравнения Гамильтона в компактной форме:

$$ \dot{\mathbf{z}} = \mathbf{\Omega} \frac{\partial H}{\partial \mathbf{z}}, \quad \mathbf{\Omega} = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{pmatrix}. $$

Каноническое преобразование z → Z удовлетворяет:

$$ \dot{\mathbf{Z}} = \mathbf{\Omega} \frac{\partial K}{\partial \mathbf{Z}}, \quad \mathbf{J}^T \mathbf{\Omega} \mathbf{J} = \mathbf{\Omega}, \quad \mathbf{J} = \frac{\partial \mathbf{Z}}{\partial \mathbf{z}}. $$

Это выражает симплектическую природу канонических преобразований и обеспечивает сохранение структуры фазового пространства.

7. Применение канонических преобразований

  1. Интегрирование уравнений движения: поиск подходящих координат (например, действие-угол), где система сводится к тривиально интегрируемой.
  2. Переход к квантовой механике: канонические преобразования играют ключевую роль в формализме квантовой механики через соответствие q → q̂, p → p̂.
  3. Упрощение сложных систем: разложение многомерных систем на независимые подсистемы.
  4. Анализ возмущений: в небесной механике и теории возмущений канонические преобразования позволяют выделить интегралы движения и реализовать методы приближенного решения.
Оглавление