Канонические уравнения Гамильтона

Канонические уравнения Гамильтона являются фундаментальным инструментом классической механики, представляя собой альтернативный способ описания динамики механических систем, параллельный формализму Лагранжа. Они особенно удобны для анализа сложных систем, систем с ограничениями и для перехода к квантовой механике.

1. Преобразование Лагранжа в гамильтонов формализм

Начнем с Лагранжева формализма. Пусть система описывается n обобщёнными координатами qi и обобщёнными скоростями q̇i. Лагранжиан L(qi, q̇i, t) определяется как разность кинетической и потенциальной энергии:

L(qi, q̇i, t) = T(qi, q̇i) − V(qi, t)

Обобщённые импульсы pi вводятся как:

$$ p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}. $$

Эта связь позволяет перейти к гамильтонову формализму. Гамильтониан H(qi, pi, t) определяется через Лежандрово преобразование Лагранжиана:

$$ H(q_i, p_i, t) = \sum_{i=1}^n p_i \dot{q}_i - L(q_i, \dot{q}_i, t), $$

где q̇i выражены через qi и pi с помощью уравнений pi = ∂L/∂q̇i.

Ключевой момент: гамильтониан часто интерпретируется как полная энергия системы, если Лагранжиан имеет вид L = T − V и кинетическая энергия квадратична по скоростям.

2. Канонические уравнения

Основным результатом гамильтоновой механики являются канонические уравнения Гамильтона:

$$ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}, \quad i = 1, \dots, n. $$

Эти уравнения полностью описывают эволюцию системы во времени в фазовом пространстве (qi, pi).

Особенности канонических уравнений:

  1. Система уравнений первого порядка, в отличие от лагранжевых уравнений второго порядка.
  2. Естественно задают динамику в фазовом пространстве, где каждая точка определяет состояние системы полностью.
  3. Структура уравнений отражает симплектическую геометрию фазового пространства: сохраняется симплектическая форма ∑idqi ∧ dpi.

3. Примеры применения

Пример 1: Свободная частица

Для частицы массы m в одномерном пространстве:

$$ L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 \implies p = m \dot{x}, \quad H = \frac{p^2}{2m}. $$

Канонические уравнения:

$$ \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}, \quad \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial x} = 0. $$

Результат соответствует известной динамике: скорость постоянна, импульс сохраняется.

Пример 2: Гармонический осциллятор

Для осциллятора с массой m и жесткостью k:

$$ L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2} k x^2, \quad p = m \dot{x}, \quad H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} k x^2. $$

Канонические уравнения:

$$ \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}, \quad \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial x} = -k x. $$

Из этих уравнений следует известное решение гармонических колебаний x(t) = Acos (ωt + ϕ), $\omega = \sqrt{k/m}$.

4. Фазовое пространство и сохранение структуры

В фазовом пространстве (qi, pi) канонические уравнения формируют поток, сохраняющий объем по теореме Лиувилля:

$$ \frac{d}{dt} \prod_i dq_i dp_i = 0. $$

Это фундаментальное свойство отражает консервацию информации о состоянии системы и лежит в основе статистической механики.

Ключевой момент: каноническая структура фазового пространства задаёт правила преобразования координат и импульсов, называемые каноническими преобразованиями, которые сохраняют форму уравнений Гамильтона.

5. Канонические преобразования

Пусть имеется преобразование (qi, pi) → (Qi, Pi), которое сохраняет каноническую структуру:

$$ \dot{Q}_i = \frac{\partial K}{\partial P_i}, \quad \dot{P}_i = -\frac{\partial K}{\partial Q_i}, $$

где K(Qi, Pi, t) — гамильтониан в новых координатах. Такие преобразования крайне важны для интегрирования сложных систем, нахождения интегралов движения и перехода к экшен-энерджи переменным.

6. Связь с Лагранжем

Преобразование Лагранжа в Гамильтона дает:

$$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}. $$

Таким образом, гамильтонов формализм эквивалентен лагранжеву, но удобнее для:

  • систем с большим числом степеней свободы;
  • анализа устойчивости движения;
  • применения методов возмущений и теории интегрируемых систем;
  • перехода к квантовой механике через квантование канонических переменных.

7. Интегралы движения и циклические координаты

Если гамильтониан не зависит явно от одной из координат qj, то pj = const. Это обобщение закона сохранения импульса и демонстрирует мощь гамильтоновой механики для выявления симметрий системы и связанных законов сохранения.

8. Заключительные замечания

Канонические уравнения Гамильтона:

  • Переводят систему в первого порядка уравнений, удобных для численного решения и анализа фазового пространства.
  • Позволяют легко выявлять сохраненные величины и использовать канонические преобразования для упрощения динамики.
  • Служат фундаментом для теории возмущений, квантовой механики и статистической физики.

Они представляют собой структурно богатый и мощный формализм, раскрывающий симметрии и фундаментальные свойства динамических систем.

Оглавление