Кинематика твердого тела

Кинематика твердого тела изучает движение тел, размеры и форма которых остаются неизменными при любых преобразованиях. Твердое тело определяется как совокупность материальных точек, расстояния между которыми постоянны. Такое приближение позволяет исследовать сложные движения макроскопических объектов без учета внутренних деформаций.

В отличие от кинематики материальной точки, движение твердого тела имеет два вида свободы: поступательное и вращательное. Общая картина движения всегда может быть представлена как комбинация этих двух видов.

Поступательное движение

Поступательным называется движение твердого тела, при котором все его точки движутся одинаково: имеют одинаковые скорости и ускорения.

  • В этом случае траектории всех точек параллельны между собой.
  • Движение тела можно описывать через движение любой одной точки, чаще всего — центра масс.

Математически, если тело движется поступательно, то радиус-вектор любой точки r⃗i можно записать через радиус-вектор некоторой одной точки r⃗0:

r⃗i(t) = r⃗0(t) + ρ⃗i,

где ρ⃗i — постоянный вектор, описывающий положение точки в теле относительно выбранной опорной точки.

Вращательное движение

Вращательным называется движение твердого тела, при котором все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Для вращательного движения вокруг неподвижной оси:

  • Каждая точка описывает окружность радиуса r, перпендикулярную оси.
  • Все точки тела совершают одинаковое угловое движение, характеризующееся угловыми координатами, скоростями и ускорениями.

Основные кинематические параметры:

  • Угловая координата φ(t) — угол поворота тела вокруг оси.
  • Угловая скорость

$$ \omega = \frac{d\varphi}{dt}, $$

которая показывает быстроту вращения.

  • Угловое ускорение

$$ \varepsilon = \frac{d\omega}{dt}. $$

Связь между линейными и угловыми величинами:

v = ωr,  aτ = εr,  an = ω2r,

где v — линейная скорость точки, aτ — тангенциальное ускорение, an — нормальное (центростремительное) ускорение.

Плоское движение твердого тела

Наиболее распространенный тип движения в механике — плоское движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях. Такое движение всегда можно представить как комбинацию поступательного движения и вращения вокруг некоторой оси, перпендикулярной плоскости движения.

Радиус-вектор произвольной точки A тела выражается как

r⃗A = r⃗O + ρ⃗,

где r⃗O — радиус-вектор выбранной опорной точки O, а ρ⃗ — вектор, связанный с вращением.

Скорость точки:

v⃗A = v⃗O + ω⃗ × ρ⃗,

где ω⃗ — угловая скорость тела.

Ускорение точки:

a⃗A = a⃗O + ε⃗ × ρ⃗ + ω⃗ × (ω⃗ × ρ⃗),

где ε⃗ — угловое ускорение.

Оси и углы Эйлера

Общее движение твердого тела в пространстве может быть представлено как последовательное вращение вокруг трех взаимно перпендикулярных осей. Для описания положения тела применяются углы Эйлера:

  1. Прецессия (ψ) — вращение вокруг оси z.
  2. Нуттация (θ) — вращение вокруг новой оси x′.
  3. Собственное вращение (φ) — вращение вокруг оси тела z′.

Таким образом, для задания положения твердого тела в пространстве достаточно трех независимых угловых параметров.

Мгновенная ось вращения

В случае сложного движения твердого тела в каждый момент времени можно найти мгновенную ось вращения — такую ось, относительно которой движение тела в данный момент эквивалентно чистому вращению.

Мгновенная ось определяется геометрически как линия, вдоль которой скорость всех точек тела равна нулю. Это существенно упрощает анализ движения.

Полюсные формулы Эйлера

Для описания скоростей и ускорений в плоском движении используют формулы Эйлера:

  • Формула для скоростей:

$$ \vec{v}_A = \vec{v}_B + \vec{\omega} \times \vec{AB}. $$

  • Формула для ускорений:

$$ \vec{a}_A = \vec{a}_B + \vec{\varepsilon} \times \vec{AB} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{AB}). $$

Эти выражения позволяют находить кинематические характеристики любой точки твердого тела через характеристики выбранного полюса.

Кинематика относительного движения

При исследовании движения твердого тела в различных системах отсчета необходимо учитывать относительные скорости и ускорения.

Если точка A тела движется относительно подвижной системы отсчета, то её абсолютная скорость равна:

v⃗A = v⃗отн + v⃗пер,

где v⃗отн — относительная скорость в подвижной системе, а v⃗пер — переносная скорость системы.

Ускорение точки включает также ускорение Кориолиса:

a⃗A = a⃗отн + a⃗пер + 2ω⃗ × v⃗отн.

Оглавление