Вращательное движение представляет собой движение тела вокруг неподвижной оси или точки. В отличие от поступательного движения, при котором все точки тела перемещаются одинаково, в вращательном движении разные точки тела описывают концентрические окружности с центром на оси вращения. Основные величины, характеризующие вращение, включают угловое перемещение, угловую скорость и угловое ускорение.
Угловое перемещение θ описывает угол, на который повернулось тело за некоторое время, и измеряется в радианах (рад). Связь между линейной траекторией точки на радиусе r и угловым перемещением выражается формулой:
s = rθ,
где s — длина дуги, описанной точкой на радиусе r.
Угловая скорость ω характеризует скорость вращения тела и определяется как производная углового перемещения по времени:
$$ \omega = \frac{d\theta}{dt}. $$
Единица измерения — радианы в секунду (рад/с).
Угловое ускорение α описывает изменение угловой скорости с течением времени:
$$ \alpha = \frac{d\omega}{dt}. $$
Если угловое ускорение постоянно, вращение называется равнозамедленным или равноз ускоренным в зависимости от знака α.
Каждая точка тела, вращающегося вокруг оси, имеет линейную скорость v, которая зависит от расстояния до оси:
v = ωr.
Линейное ускорение точки складывается из двух составляющих:
Эти составляющие связаны с общей траекторией точки и определяют динамическое поведение тела при вращении.
Для случая равномерного углового ускорения справедливы зависимости, аналогичные уравнениям прямолинейного движения:
ω = ω0 + αt,
$$ \theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2, $$
ω2 = ω02 + 2α(θ − θ0),
где ω0 и θ0 — начальные значения угловой скорости и углового положения.
Для вращательного движения вводится понятие момента силы (крутящего момента) M, определяемого как произведение силы F на плечо r относительно оси:
M = rF⟂,
где F⟂ — составляющая силы, перпендикулярная радиусу. Момент силы вызывает угловое ускорение α, описываемое уравнением динамики вращательного движения:
M = Iα,
где I — момент инерции тела относительно оси вращения, характеризующий распределение массы:
I = ∑miri2 или I = ∫r2dm.
Момент инерции зависит от формы тела и расположения оси вращения и играет роль “массы” в уравнении для углового движения.
Вращательное движение характеризуется кинетической энергией:
$$ E_k = \frac{1}{2} I \omega^2. $$
При взаимодействии с внешними силами работа момента силы M изменяет кинетическую энергию:
dW = M dθ.
При постоянном моменте силы работа за время t равна:
W = M(θ − θ0),
что аналогично работе силы в поступательном движении.
Закон сохранения момента импульса: если на тело не действуют внешние моменты сил, его момент импульса L = Iω сохраняется:
L = const.
Это позволяет объяснять явления устойчивости вращающихся тел, такие как гироскопический эффект, изменение угловой скорости при изменении распределения массы (эффект фигуристки, подтягивающей руки).
Закон сохранения энергии также применим к вращательному движению: в отсутствии внешних моментов кинетическая энергия вращения сохраняется.
Цилиндр, катящийся без скольжения по наклонной плоскости. Здесь связь между угловым и поступательным движением выражается условием v = ωR.
Маятник, вращающийся вокруг оси. В этом случае момент инерции зависит от формы и расположения массы относительно оси, а угловое ускорение определяется моментом силы тяжести.
Гироскопическое движение. При вращении с большой угловой скоростью гироскоп сохраняет направление оси благодаря сохранению момента импульса, демонстрируя устойчивость к внешним воздействиям.