Идеальный газ рассматривается как система частиц, находящихся в постоянном хаотическом движении, которые не взаимодействуют друг с другом, кроме как при упругих столкновениях. Каждая частица обладает массой m и движется с некоторой скоростью v. Основными характеристиками газа являются давление P, объем V, температура T и количество вещества n. Эти величины связаны уравнением состояния идеального газа:
PV = nRT,
где R — универсальная газовая постоянная. При макроскопическом рассмотрении газа важную роль играет средняя кинетическая энергия частиц, которая пропорциональна абсолютной температуре:
$$ \langle E_\text{к} \rangle = \frac{3}{2} k_B T, $$
где kB — постоянная Больцмана. Этот результат является следствием молекулярно-кинетической теории и демонстрирует связь между микроскопическими движениями частиц и макроскопическими параметрами газа.
1. Закон Бойля-Мариотта
При постоянной температуре (T = const) произведение давления на объем остается постоянным:
PV = const.
2. Закон Гей-Люссака
При постоянном объеме давление пропорционально температуре:
$$ \frac{P}{T} = \text{const}. $$
3. Закон Шарля
Объем газа при постоянном давлении пропорционален температуре:
$$ \frac{V}{T} = \text{const}. $$
Эти законы являются эмпирическими, но могут быть выведены из кинетической теории газов.
В основе молекулярно-кинетической теории лежит гипотеза о том, что газ состоит из большого числа одинаковых частиц, находящихся в непрерывном хаотическом движении. Основные положения теории:
Распределение Максвелла-Больцмана по скоростям:
$$ f(v) = 4 \pi \left( \frac{m}{2 \pi k_B T} \right)^{3/2} v^2 e^{- \frac{m v^2}{2 k_B T}}. $$
Здесь f(v) dv — вероятность того, что частица имеет скорость в диапазоне [v, v + dv]. Это распределение позволяет вычислять средние значения скоростей, энергии и импульсов частиц.
Давление газа на стенки сосуда возникает вследствие столкновений молекул с поверхностью. Для системы N частиц можно записать:
$$ P = \frac{1}{3} \frac{N m \langle v^2 \rangle}{V}, $$
где ⟨v2⟩ — среднее квадратичное значение скорости. Связь с температурой задается через:
$$ \frac{1}{2} m \langle v^2 \rangle = \frac{3}{2} k_B T. $$
Таким образом, давление и температура являются макроскопическими проявлениями кинетической энергии частиц.
Внутренняя энергия идеального газа — это сумма кинетических энергий всех частиц:
$$ U = \frac{3}{2} nRT \quad \text{для одноатомного газа}. $$
Для многоатомных газов внутренняя энергия включает также вращательную и колебательную энергии.
Теплоемкость при постоянном объеме:
$$ C_V = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V. $$
Для одноатомного идеального газа:
$$ C_V = \frac{3}{2} R. $$
Теплоемкость при постоянном давлении связана с CV через:
CP = CV + R.
1. Изотермический процесс (T = const)
$$ P V = \text{const}, \quad A = \int P \, dV = nRT \ln \frac{V_f}{V_i}. $$
2. Изохорический процесс (V = const)
ΔU = Q = nCVΔT.
3. Изобарический процесс (P = const)
Q = ΔU + PΔV = nCPΔT.
4. Адиабатический процесс (Q = 0)
$$ P V^\gamma = \text{const}, \quad \gamma = \frac{C_P}{C_V}. $$
Идеальный газ — это идеализация. Для реальных газов необходимо учитывать объем частиц и межмолекулярные силы. Уравнение Ван-дер-Ваальса записывается как:
$$ \left( P + \frac{a n^2}{V^2} \right) (V - n b) = nRT, $$
где a учитывает силы притяжения между молекулами, а b — собственный объем молекул. Это уравнение позволяет описывать фазовые переходы и критические явления.