Классическая механика возникает как предельный случай квантовой механики, когда характерные действия системы значительно превышают постоянную Планка ℏ. Этот переход описывается принципом соответствия, согласно которому средние значения квантовых наблюдаемых при больших квантовых числах подчиняются законам классической механики.
Формально это выражается через условия:
S ≫ ℏ, n ≫ 1,
где S — действующая величина системы, n — характерное квантовое число. При этом квантовые флуктуации становятся незначительными, а распределения вероятностей концентрируются вокруг траекторий, предсказываемых классической теорией.
Полуклассический подход позволяет описывать квантовые системы с использованием классических понятий. Основные методы включают:
Метод ВКБ (Вентцеля–Крамерса–Бриллюэна)
Для одномерной системы с гамильтонианом
$$ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{x}) $$
волновая функция в полуклассическом приближении записывается как:
$$ \psi(x) \approx \frac{C}{\sqrt{p(x)}} \exp\left(\frac{i}{\hbar} \int^x p(x') dx'\right), $$
где $p(x) = \sqrt{2m(E - V(x))}$ — классический импульс.
Условие применимости ВКБ:
$$ \left|\frac{d\lambda_{\text{деб}}}{dx}\right| \ll 1, \quad \lambda_{\text{деб}} = \frac{2\pi\hbar}{p(x)}, $$
что означает медленное изменение потенциала на расстоянии порядка длины волны де Бройля.
Квантование Боhr–Соммерфелда
Для интегрируемых систем полуклассическое квантование записывается в виде:
$$ \oint p_i dq_i = 2\pi \hbar \left(n_i + \frac{\alpha_i}{4}\right), $$
где αi — число возвратов в классическом движении (масловские индексы). Этот подход приводит к точным или почти точным спектрам для многих систем, например, для гармонического осциллятора или атома водорода при больших n.
Принцип соответствия Нильса Бора утверждает, что квантовые законы должны переходить в классические при больших квантовых числах. Это проявляется в нескольких аспектах:
Энергетические уровни: Разность между соседними уровнями уменьшается, и спектр становится практически непрерывным.
ΔEn = En + 1 − En ∼ ℏω → 0 при n → ∞.
Средние значения наблюдаемых: Для оператора Â выполняется
⟨n|Â|n⟩ ≈ Aкласс.,
где Aкласс. — классическое значение величины на соответствующей траектории.
Динамика: Эволюция квазиопределённых состояний (wave packets) близка к классической траектории:
$$ \frac{d}{dt} \langle \hat{x} \rangle \approx \frac{\langle \hat{p} \rangle}{m}, \quad \frac{d}{dt} \langle \hat{p} \rangle \approx - \left\langle \frac{\partial V}{\partial x} \right\rangle. $$
Рассмотрим одномерный квантовый гармонический осциллятор:
$$ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 \hat{x}^2, \quad E_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2}\right). $$
При больших n энергия дискретных уровней почти непрерывна, а квантовая волновая функция ψn(x) концентрируется вокруг классической траектории:
$$ x(t) = \sqrt{\frac{2E_n}{m\omega^2}} \cos(\omega t + \phi), $$
что наглядно иллюстрирует переход к классике.
Полуклассическое распределение вероятности для координаты x имеет вид:
$$ w(x) \sim \frac{1}{\sqrt{E - \frac{1}{2} m \omega^2 x^2}} \quad (|x| \le \sqrt{2E/m\omega^2}), $$
что совпадает с временем пребывания классической частицы на координате x.
Для систем с N степенями свободы классическое движение определяется траекториями в фазовом пространстве (q, p). Полуклассические методы позволяют:
Построить квазиопределённые состояния, локализованные вокруг классической траектории.
Вычислить плотность состояний через фазовое пространство:
$$ g(E) \approx \frac{1}{(2\pi\hbar)^N} \int \delta(H(\mathbf{q},\mathbf{p}) - E)\, d^Nq\, d^Np. $$
Использовать методы действия и угловых переменных для интегрируемых систем.
Классический предел корректно описывает систему, если выполняются условия:
Нарушения классического предела проявляются в туннелировании, эффекте Зеемана, спиновых интерференциях и других чисто квантовых явлениях.