Положение равновесия системы определяется состоянием, при котором сумма всех действующих на нее сил равна нулю. В механике различают три типа равновесия:
Для аналитического описания колебаний устойчивое равновесие является ключевым, так как оно обеспечивает возможность малых осцилляций вокруг точки равновесия.
Если система описывается одной координатой x и потенциальной энергией V(x), то вблизи устойчивого положения равновесия x0 можно разложить потенциал в ряд Тейлора:
$$ V(x) = V(x_0) + \left.\frac{dV}{dx}\right|_{x_0} (x-x_0) + \frac{1}{2}\left.\frac{d^2V}{dx^2}\right|_{x_0} (x-x_0)^2 + \dots $$
Поскольку x0 — точка равновесия, первая производная потенциала равна нулю:
$$ \left.\frac{dV}{dx}\right|_{x_0} = 0 $$
Тогда для малых отклонений ξ = x − x0 имеем:
$$ V(x) \approx V(x_0) + \frac{1}{2} k \xi^2 $$
где
$$ k = \left.\frac{d^2V}{dx^2}\right|_{x_0} > 0 $$
— эффективная жесткость системы.
Для массы m, движущейся в потенциале V(x), динамика описывается уравнением Ньютона:
$$ m \ddot{x} = -\frac{dV}{dx} $$
Подставляя разложение потенциала для малых отклонений ξ, получаем линейное дифференциальное уравнение:
$$ m \ddot{\xi} + k \xi = 0 $$
Это уравнение описывает гармонические колебания. Его решение имеет вид:
ξ(t) = Acos (ωt + ϕ)
где
$$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $$
— собственная частота малых колебаний, A — амплитуда, ϕ — начальная фаза.
Ключевой момент: линейное приближение приводит к независимости частоты колебаний от амплитуды, что характерно для гармонических осцилляторов.
Полная энергия системы вблизи точки равновесия равна сумме кинетической и потенциальной энергий:
$$ E = T + V = \frac{1}{2} m \dot{\xi}^2 + \frac{1}{2} k \xi^2 $$
Эта энергия сохраняется во времени, что отражает закон сохранения энергии для малых колебаний в потенциальном поле.
Графически фазовое пространство (ξ, ξ̇) представляет собой эллипс:
$$ \frac{\xi^2}{(A)^2} + \frac{\dot{\xi}^2}{(\omega A)^2} = 1 $$
Эта картина показывает регулярность и периодичность движения.
Для системы с n координатами q = (q1, …, qn) потенциальная энергия около устойчивого положения равновесия q0 разлагается в квадратичную форму:
$$ V(\mathbf{q}) \approx V(\mathbf{q}_0) + \frac{1}{2} \sum_{i,j} K_{ij} \xi_i \xi_j $$
где ξi = qi − (q0)i и матрица $K_{ij} = \left.\frac{\partial^2 V}{\partial q_i \partial q_j}\right|_{\mathbf{q}_0}$ — матрица жесткостей.
Уравнения движения имеют вид:
$$ m_i \ddot{\xi}_i + \sum_j K_{ij} \xi_j = 0, \quad i = 1, \dots, n $$
Решение сводится к задаче о собственных значениях для системы матриц:
det |K − ω2M| = 0
где M — диагональная матрица масс.
Каждое собственное значение ω2 соответствует собственной частоте нормального колебания, а соответствующий собственный вектор задает форма колебаний.
Для математического маятника длиной l и массы m при малых углах θ получаем:
$$ m l^2 \ddot{\theta} + m g l \theta = 0 \quad \Rightarrow \quad \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} $$
Масса m, соединённая с пружиной жесткости k:
$$ m \ddot{x} + k x = 0 \quad \Rightarrow \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $$
Составляется система линейных уравнений, определяется матрица жесткостей, затем находятся собственные частоты ω1, ω2 и соответствующие нормальные формы.
Для больших отклонений линейное приближение становится некорректным, и частота колебаний начинает зависеть от амплитуды. Такие колебания называются нелинейными, и их описание требует учета высших порядков разложения потенциала.
Типичные эффекты нелинейных колебаний: