Колебания струн и мембран представляют собой важный раздел классической механики, изучающий волновые процессы в упругих средах с ограниченными размерами. Они служат фундаментом для теории звука, музыкальных инструментов, акустики и многих прикладных областей механики.
Для тонкой упругой струны длиной L, натянутой с силой T и имеющей линейную плотность ρ, малые поперечные колебания y(x, t) описываются одномерным волновым уравнением:
$$ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}, \quad v = \sqrt{\frac{T}{\rho}}, $$
где v — скорость распространения поперечной волны вдоль струны.
Ключевой момент: скорость волны зависит только от натяжения и линейной плотности струны, но не от амплитуды колебаний (линейная теория малых колебаний).
Для струны с закрепленными концами x = 0 и x = L граничные условия:
y(0, t) = 0, y(L, t) = 0.
Решение волнового уравнения методом разделения переменных:
y(x, t) = X(x)T(t),
приводит к уравнениям:
$$ \frac{d^2 X}{dx^2} + k^2 X = 0, \quad \frac{d^2 T}{dt^2} + \omega^2 T = 0, $$
где k = ω/v — волновое число. Для закрепленных концов получаем дискретные собственные моды:
$$ X_n(x) = \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right), \quad n = 1, 2, 3, \dots $$
и соответствующие собственные частоты:
$$ \omega_n = \frac{n \pi v}{L}. $$
Ключевой момент: каждая собственная мода n характеризуется числом узлов (мест, где амплитуда равна нулю) на струне и частотой, кратной основной.
Общее решение колебаний струны записывается как суперпозиция нормальных мод:
$$ y(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ A_n \cos(\omega_n t) + B_n \sin(\omega_n t) \right] \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right), $$
где An и Bn определяются начальными условиями (начальное смещение и скорость струны).
Ключевой момент: каждое колебание струны можно рассматривать как независимую гармоническую осцилляцию в нормальной координате.
Для двухмерной упругой мембраны (например, барабанной кожи) натяжением T на единицу длины и плотностью ρ волновое уравнение имеет вид:
$$ \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} = v^2 \nabla^2 z, \quad v = \sqrt{\frac{T}{\rho}}, $$
где z(x, y, t) — поперечное смещение мембраны, $\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$.
Ключевой момент: скорость распространения волн на мембране также определяется только натяжением и плотностью.
Для мембраны с закрепленным краем (например, круглая мембрана радиуса R) выполняется условие:
z(R, θ, t) = 0.
В цилиндрических координатах (r, θ) решение методом разделения переменных z(r, θ, t) = R(r)Θ(θ)T(t) приводит к уравнению Бесселя для радиальной части:
$$ r^2 \frac{d^2 R}{dr^2} + r \frac{dR}{dr} + (\lambda^2 r^2 - m^2) R = 0, $$
где m — число узлов по окружности, λ = ω/v связано с частотой колебаний.
Собственные частоты определяются нулями функции Бесселя Jm(λmnr) на краю мембраны r = R:
$$ \omega_{mn} = v \frac{\lambda_{mn}}{R}. $$
Ключевой момент: колебания мембраны более сложные, чем струны — они характеризуются двумя числами узлов: радиальным n и угловым m, формируя двумерные нормальные моды.
Энергия колебаний струны или мембраны складывается из кинетической и потенциальной энергии:
$$ E = \frac{1}{2} \int \rho \left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2 dx + \frac{1}{2} \int T \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2 dx $$
для струны, и
$$ E = \frac{1}{2} \int \rho \left(\frac{\partial z}{\partial t}\right)^2 dA + \frac{1}{2} \int T \left[ \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 \right] dA $$
для мембраны.
Ключевой момент: каждая нормальная мода колебаний является гармоническим осциллятором с энергией, пропорциональной квадрату амплитуды.