Связанные маятники представляют собой систему, состоящую из двух или более тел, соединённых упругими или жёсткими связями, способными передавать силы взаимодействия между телами. Наиболее часто рассматриваются малые колебания, когда отклонения от равновесия малы и можно линейно аппроксимировать уравнения движения.
Рассмотрим систему двух одинаковых математических маятников масс m1 = m2 = m, длиной нитей l1 = l2 = l, соединённых лёгкой упругой пружиной жёсткости k, растянутая в положении равновесия без напряжения. Пусть отклонения угловые и малы (θ1, θ2 ≪ 1).
Сначала составим уравнения Лагранжа. Кинетическая энергия системы:
$$ T = \frac{1}{2} m l^2 (\dot{\theta}_1^2 + \dot{\theta}_2^2) $$
Потенциальная энергия складывается из двух частей: энергии гравитации и энергии упругой связи:
$$ V = \frac{1}{2} m g l (\theta_1^2 + \theta_2^2) + \frac{1}{2} k l^2 (\theta_2 - \theta_1)^2 $$
Лагранжиан системы:
$$ L = T - V = \frac{1}{2} m l^2 (\dot{\theta}_1^2 + \dot{\theta}_2^2) - \left[ \frac{1}{2} m g l (\theta_1^2 + \theta_2^2) + \frac{1}{2} k l^2 (\theta_2 - \theta_1)^2 \right] $$
Применяя уравнения Лагранжа:
$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial \theta_i} = 0, \quad i=1,2 $$
получаем систему линейных дифференциальных уравнений:
$$ m l^2 \ddot{\theta}_1 + (m g l + k l^2) \theta_1 - k l^2 \theta_2 = 0 $$
$$ m l^2 \ddot{\theta}_2 + (m g l + k l^2) \theta_2 - k l^2 \theta_1 = 0 $$
Разделив на ml2:
$$ \ddot{\theta}_1 + \frac{g}{l} \theta_1 + \frac{k}{m} (\theta_1 - \theta_2) = 0 $$
$$ \ddot{\theta}_2 + \frac{g}{l} \theta_2 + \frac{k}{m} (\theta_2 - \theta_1) = 0 $$
Для поиска нормальных колебаний предположим решения вида:
θi(t) = Aieiωt, i = 1, 2
Подставляем в систему уравнений:
$$ -\omega^2 A_1 + \frac{g}{l} A_1 + \frac{k}{m} (A_1 - A_2) = 0 $$
$$ -\omega^2 A_2 + \frac{g}{l} A_2 + \frac{k}{m} (A_2 - A_1) = 0 $$
В матричной форме:
$$ \begin{pmatrix} \frac{g}{l} + \frac{k}{m} - \omega^2 & -\frac{k}{m} \\ -\frac{k}{m} & \frac{g}{l} + \frac{k}{m} - \omega^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \end{pmatrix} = 0 $$
Ненулевое решение существует, если детерминант матрицы равен нулю:
$$ \left( \frac{g}{l} + \frac{k}{m} - \omega^2 \right)^2 - \left( \frac{k}{m} \right)^2 = 0 $$
Отсюда получаем собственные частоты:
$$ \omega_1^2 = \frac{g}{l} \quad \text{(синфазные колебания, } A_1 = A_2) $$
$$ \omega_2^2 = \frac{g}{l} + \frac{2k}{m} \quad \text{(противофазные колебания, } A_1 = -A_2) $$
Таким образом, система имеет две нормальные моды:
Общее решение линейной системы выражается через суперпозицию нормальных мод:
θ1(t) = C1cos (ω1t + ϕ1) + C2cos (ω2t + ϕ2)
θ2(t) = C1cos (ω1t + ϕ1) − C2cos (ω2t + ϕ2)
Коэффициенты C1, C2, ϕ1, ϕ2 определяются начальными условиями: положения и скорости маятников в момент времени t = 0.
В системе связанных маятников наблюдается эффект передачи энергии между колебательными модами. Если начальное условие задаёт смещение только одного маятника, энергия постепенно переходит от одного маятника к другому, и обратно, создавая характерное биение. Период биений определяется разностью собственных частот:
$$ T_{\text{биений}} = \frac{2\pi}{\omega_2 - \omega_1} $$
Этот эффект используется для измерения малых упругих коэффициентов и демонстрации принципов нормальных колебаний.
Для цепочки N одинаковых маятников, соединённых пружинами, формируются N нормальных мод с собственными частотами:
$$ \omega_j^2 = \frac{g}{l} + 4 \frac{k}{m} \sin^2 \left( \frac{j \pi}{2 N} \right), \quad j = 1,2,\dots,N $$
Каждая мода характеризуется определённым законом распределения амплитуд по маятникам. Нижняя частота соответствует синфазной моду, верхняя — противофазной с чередованием направлений колебаний.
Колебания связанных маятников служат моделью для:
Связанные маятники демонстрируют фундаментальные принципы линейной динамики, нормальных мод, и являются основой для понимания сложных колебательных систем.