Метод усреднения является важным аналитическим инструментом в классической механике, позволяющим изучать динамику систем с медленно изменяющимися параметрами или с наличием малых возмущений. Он широко применяется для анализа колебательных систем, планетарной динамики, нелинейных осцилляторов и систем с резонансными взаимодействиями.
Метод усреднения основывается на разделении движения на быстрое колебательное и медленно изменяющееся. Пусть система описывается уравнением:
ẋ = εf(x, t, ε), 0 < ε ≪ 1,
где x ∈ ℝn — вектор состояния системы, f — гладкая функция, периодическая по времени t, а ε — малый параметр. Цель метода — заменить оригинальную систему приближённой системой с усреднённым по быстрому времени поведением:
$$ \dot{X} = \varepsilon \bar{f}(X), \quad \bar{f}(X) = \frac{1}{T} \int_0^T f(X, t, 0) \, dt, $$
где T — период быстрого колебательного процесса.
Основное предположение: на промежутке времени t = O(1/ε) решение исходной системы x(t) остаётся близким к решению усреднённой системы X(t).
Рассмотрим одномерный гармонический осциллятор с малым нелинейным возмущением:
$$ \ddot{q} + \omega_0^2 q = \varepsilon f(q, \dot{q}, t), $$
где ε ≪ 1. Введём амплитудно-фазовую переменную:
q(t) = A(t)cos (ω0t + ϕ(t)), q̇(t) = −A(t)ω0sin (ω0t + ϕ(t)).
Подстановка в исходное уравнение и усреднение по быстрому времени t позволяет получить медленные уравнения для амплитуды A(t) и фазы ϕ(t):
$$ \begin{cases} \dot{A} = \varepsilon F_A(A, \phi), \\ \dot{\phi} = \varepsilon F_\phi(A, \phi), \end{cases} $$
где функции FA и Fϕ определяются усреднением исходного возмущения:
$$ F_A(A, \phi) = \frac{1}{T} \int_0^T f(q, \dot{q}, t) \cos(\omega_0 t + \phi) \, dt, \quad F_\phi(A, \phi) = -\frac{1}{T A} \int_0^T f(q, \dot{q}, t) \sin(\omega_0 t + \phi) \, dt. $$
Результат: вместо анализа полной системы с быстрыми колебаниями достаточно исследовать медленную динамику амплитуды и фазы, что значительно упрощает задачу.
Метод усреднения особенно эффективен при исследовании систем, находящихся вблизи резонанса. Пусть осциллятор возбуждается внешней периодической силой Fcos (ωt) с ω ≈ ω0. Система описывается уравнением:
$$ \ddot{q} + \omega_0^2 q = \varepsilon F \cos(\omega t). $$
Используя метод усреднения и амплитудно-фазовые переменные, можно получить уравнения для медленно меняющейся амплитуды A(t) и фазы ϕ(t):
$$ \begin{cases} \dot{A} = -\frac{\varepsilon F}{2 \omega_0} \sin \phi, \\ \dot{\phi} = \omega_0 - \omega + \frac{\varepsilon F}{2 \omega_0 A} \cos \phi. \end{cases} $$
Эти уравнения позволяют исследовать постоянные режимы колебаний, устойчивость и возникновение бифуркаций без необходимости интегрировать исходное быстрое уравнение.
Для системы с n степенями свободы, представленной в форме:
ẋi = εfi(x1, …, xn, t), i = 1, …, n,
усреднение производится по быстрому времени для каждого компонента. В случае слабо нелинейной гамильтоновой системы с гамильтонианом:
H(p, q) = H0(p, q) + εH1(p, q, t),
метод усреднения позволяет выделить адиа-батические инварианты и определить медленную динамику эквивалентную:
$$ \dot{I}_k = -\varepsilon \frac{\partial \bar{H}_1}{\partial \theta_k}, \quad \dot{\theta}_k = \omega_k + \varepsilon \frac{\partial \bar{H}_1}{\partial I_k}, $$
где Ik — действия, θk — угловые переменные, а H̄1 — усреднённая по быстрым углам возмущающая часть.