Момент импульса материальной точки является фундаментальной величиной классической механики, играющей ключевую роль в описании вращательного движения. Он характеризует меру вращательного состояния точки относительно заданного центра или оси. Если линейный импульс описывает поступательное движение, то момент импульса отражает, каким образом движение связано с вращением.
Для материальной точки с радиус-вектором r, отсчитываемым от выбранного начала координат, и импульсом p = m v момент импульса определяется векторным произведением
L = r × p.
Здесь:
Таким образом, момент импульса зависит как от положения точки в пространстве, так и от её скорости.
Вектор момента импульса направлен перпендикулярно плоскости, образованной радиус-вектором r и импульсом p. Его направление определяется по правилу правого винта. Модуль момента импульса выражается формулой
L = rpsin θ,
где θ — угол между векторами r и p.
Особые случаи:
Часто требуется знать момент импульса не относительно точки (начала координат), а относительно определённой оси. Пусть задана ось с единичным направляющим вектором e. Тогда момент импульса относительно этой оси вычисляется как проекция вектора L на эту ось:
Le = L ⋅ e.
Физический смысл Le заключается в том, что именно эта проекция определяет вращение вокруг данной оси. В задачах механики часто рассматривается момент импульса относительно оси вращения.
Для описания динамики вращательного движения вводится фундаментальное соотношение: скорость изменения момента импульса равна моменту силы. Пусть на материальную точку действует сила F, тогда
$$ \frac{d \mathbf{L}}{dt} = \mathbf{M}, $$
где M = r × F — момент силы относительно того же центра.
Это уравнение полностью аналогично закону Ньютона в форме для импульса ($\frac{d \mathbf{p}}{dt} = \mathbf{F}$), но в вращательной форме.
Если результирующий момент силы равен нулю (M = 0), то
$$ \frac{d \mathbf{L}}{dt} = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{L} = \text{const}. $$
Таким образом, момент импульса сохраняется. Это фундаментальный закон природы, лежащий в основе многих явлений — от устойчивости вращения небесных тел до работы гироскопов.
Закон сохранения момента импульса можно рассматривать как следствие изотропии пространства: так как физические законы одинаковы при поворотах системы координат, то величина, связанная с вращением, должна оставаться постоянной.
Движение планеты вокруг Солнца. Планета движется под действием центральной силы притяжения. Так как сила всегда направлена к центру, её момент относительно центра равен нулю. Следовательно, момент импульса планеты относительно Солнца сохраняется. Это приводит к закону площадей Кеплера: радиус-вектор планеты за равные промежутки времени заметает равные площади.
Гироскоп. Вращающийся ротор гироскопа обладает значительным моментом импульса. При отсутствии внешнего момента силы ось вращения сохраняет своё направление в пространстве. Это используется в навигации и стабилизации движения.
Фигура скользящего конькобежца. Если конькобежец вращается на льду и прижимает руки к телу, его момент инерции уменьшается. Так как момент импульса сохраняется, угловая скорость возрастает — вращение становится более быстрым.
Для материальной точки момент импульса не выражается напрямую через угловую скорость, однако в частном случае движения по окружности это возможно. Пусть точка массы m движется по окружности радиуса r с угловой скоростью ω. Тогда её линейная скорость равна v = rω, импульс — p = mv = mrω.
Подставляя в формулу момента импульса:
L = r ⋅ p = mr2ω.
Таким образом, в этом случае момент импульса прямо пропорционален угловой скорости. Этот результат является переходным звеном к понятию момента импульса для системы точек и твёрдого тела.