Момент импульса системы частиц

Пусть система состоит из N материальных точек с массами m_i и радиус-векторами r_i, отсчитываемыми от выбранного начала координат O. Линейный импульс i-й частицы равен

p_i = m_iv_i,

где $\mathbf{v}_i = \dot{\mathbf{r}}_i$ — её скорость.

Момент импульса частицы относительно точки O определяется как

L_i = r_i × p_i.

Тогда момент импульса всей системы частиц есть векторная сумма моментов импульса всех точек:

$$ \mathbf{L} = \sum_{i=1}^N \mathbf{L}_i = \sum_{i=1}^N \mathbf{r}_i \times m_i \mathbf{v}_i. $$

Связь с угловым движением

Момент импульса является величиной, характеризующей вращательное движение системы. В отличие от линейного импульса, который связан с поступательным движением центра масс, момент импульса отражает распределение масс и скоростей относительно выбранной точки.

В частном случае вращения жёсткого тела вокруг неподвижной оси момент импульса можно выразить через момент инерции и угловую скорость:

L = Iω,

где I — момент инерции тела относительно оси вращения, ω — вектор угловой скорости. Для произвольного движения системы частиц эта связь более сложна и требует рассмотрения центра масс.

Разложение момента импульса

Для анализа удобно разложить момент импульса системы частиц на два слагаемых:

L = L_ц.м. + L_отн.,

где

L_ц.м. — момент импульса, связанный с движением центра масс как единой точки,
L_отн. — момент импульса системы относительно её центра масс.

Пусть радиус-вектор центра масс равен

$$ \mathbf{R} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^N m_i \mathbf{r}_i, $$

где $M = \sum_{i=1}^N m_i$. Тогда скорость центра масс

$$ \mathbf{V} = \dot{\mathbf{R}}. $$

Введём векторы относительных положений:

r′_i = r_i − R, v′_i = v_i − V.

Теперь момент импульса можно записать как

$$ \mathbf{L} = \underbrace{\mathbf{R} \times M \mathbf{V}}_{\mathbf{L}_\text{ц.м.}} + \underbrace{\sum_{i=1}^N \mathbf{r}'_i \times m_i \mathbf{v}'_i}_{\mathbf{L}_\text{отн.}}. $$

Первое слагаемое соответствует моменту импульса точки массы M, движущейся со скоростью V. Второе слагаемое описывает внутреннее вращательное движение относительно центра масс.

Теорема о моменте количества движения

Пусть на систему частиц действуют силы F_i. Согласно второму закону Ньютона для каждой частицы:

$$ \dot{\mathbf{p}}_i = \mathbf{F}_i. $$

Взяв производную от выражения для момента импульса системы:

$$ \dot{\mathbf{L}} = \frac{d}{dt} \sum_{i=1}^N \left( \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i \right), $$

получаем

$$ \dot{\mathbf{L}} = \sum_{i=1}^N \left( \dot{\mathbf{r}}_i \times \mathbf{p}_i + \mathbf{r}_i \times \dot{\mathbf{p}}_i \right). $$

Первое слагаемое обращается в нуль, так как $\dot{\mathbf{r}}_i \parallel \mathbf{p}_i$. Тогда

$$ \dot{\mathbf{L}} = \sum_{i=1}^N \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_i. $$

Таким образом, производная момента импульса системы частиц равна главному моменту всех действующих сил относительно начала координат:

$$ \dot{\mathbf{L}} = \mathbf{M}_O, $$

где

$$ \mathbf{M}_O = \sum_{i=1}^N \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_i. $$

Внутренние и внешние силы

В системе действуют как внешние силы, приложенные извне, так и внутренние силы взаимодействия частиц. Рассмотрим вклад внутренних сил:

$$ \sum_{i=1}^N \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{i}^{(вн)}. $$

Если внутренние силы подчиняются третьему закону Ньютона и направлены вдоль линии, соединяющей взаимодействующие частицы, их моменты взаимно уничтожаются. Следовательно, изменение момента импульса системы определяется только внешними силами:

$$ \dot{\mathbf{L}} = \mathbf{M}_O^{(внеш)}. $$

Это фундаментальное утверждение, называемое теоремой об изменении момента импульса системы частиц.

Закон сохранения момента импульса

Если главный момент внешних сил относительно точки O равен нулю, то

$$ \dot{\mathbf{L}} = 0, $$

и момент импульса сохраняется:

L = const.

Закон сохранения момента импульса имеет универсальный характер и применяется как в механике, так и в физике микромира (например, в квантовой механике).

Примеры:

движение планет вокруг Солнца, где вектор момента импульса сохраняется, так как сила тяготения центральная;
вращение фигуры спортсмена на льду, изменяющего момент инерции путём прижатия рук, что приводит к изменению угловой скорости при постоянном моменте импульса.

Момент импульса относительно оси

Иногда интересует не весь вектор L, а его проекция на ось с направляющим вектором e. Тогда

L_e = L ⋅ e.

Согласно теореме, скорость изменения этой проекции равна моменту внешних сил относительно той же оси:

$$ \frac{dL_e}{dt} = M_e, $$

где M_e = M_O ⋅ e.

Это удобно при анализе вращений вокруг фиксированных осей и в задачах с осевой симметрией.

Связь с кинетической энергией

Момент импульса тесно связан с кинетической энергией системы частиц. Для движения относительно центра масс:

$$ T = \frac{1}{2} M V^2 + T_\text{отн}, $$

где первое слагаемое — энергия поступательного движения центра масс, второе — энергия вращательного движения относительно центра масс. Последнее выражение зависит от тензора инерции и угловой скорости, а также напрямую связано с внутренним моментом импульса L_отн.

Таким образом, изучение момента импульса даёт не только динамическое, но и энергетическое описание движения системы.