Момент импульса твердого тела

Момент импульса твердого тела определяется как сумма моментов импульсов всех материальных точек, из которых состоит тело. Если масса тела распределена по множеству элементов dm, то момент импульса относительно точки O выражается через интеграл:

LO = ∫V[r × v] dm,

где r — радиус-вектор элемента массы dm относительно точки O, v — скорость этого элемента.

Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси или точки, скорости его частиц связаны между собой кинематическими соотношениями, что позволяет перейти от интеграла к более удобной матричной форме через тензор инерции.

Связь момента импульса с угловой скоростью

Если тело вращается как абсолютно твердое, то скорость любой точки выражается через угловую скорость:

v = ω × r.

Подставляя это выражение в определение момента импульса, получаем:

LO = ∫V[r × (ω × r)] dm.

Этот интеграл раскрывается через тензор инерции Î:

LO = Î ω.

Таким образом, момент импульса пропорционален угловой скорости, но в общем случае эти векторы не совпадают по направлению, так как тензор инерции не является скалярным коэффициентом, а матрицей. Совпадение направления возможно только при вращении вокруг главных осей инерции.

Момент импульса относительно центра масс

Часто рассматривают момент импульса относительно центра масс C тела:

LC = ∫V[rC × v] dm,

где rC — радиус-вектор точки относительно центра масс. В этом случае удобно разделить общее движение тела на поступательное движение центра масс и вращательное движение относительно него. Тогда:

LO = LC + [rOC × MvC],

где rOC — радиус-вектор центра масс относительно точки O, M — масса тела, vC — скорость центра масс.

Таким образом, момент импульса относительно произвольной точки складывается из момента импульса относительно центра масс и дополнительного члена, связанного с движением самого центра масс.

Матричное представление

В прямоугольной системе координат момент импульса удобно записывать через компоненты. Если оси выбраны так, что начало совпадает с точкой O, то матрица тензора инерции имеет вид:

$$ \hat{I} = \begin{pmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & I_{zz} \end{pmatrix}, $$

где

Ixx = ∫(y2 + z2) dm,  Iyy = ∫(x2 + z2) dm,  Izz = ∫(x2 + y2) dm,

Ixy = ∫xy dm,  Ixz = ∫xz dm,  Iyz = ∫yz dm.

Тогда

$$ \mathbf{L} = \begin{pmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{xy} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{xz} & -I_{yz} & I_{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{pmatrix}. $$

Примеры вычислений

  1. Однородный стержень длины l, массы M, вращающийся вокруг конца, перпендикулярно своей длине. Для этого случая момент инерции:

    $$ I = \frac{1}{3}Ml^2. $$

    Следовательно, момент импульса равен:

    $$ L = I \omega = \frac{1}{3} Ml^2 \omega. $$

  2. Однородный диск радиуса R, массы M, вращающийся вокруг своей оси симметрии. Момент инерции:

    $$ I = \frac{1}{2}MR^2. $$

    Тогда момент импульса:

    $$ L = I \omega = \frac{1}{2}MR^2 \omega. $$

  3. Сфера радиуса R, массы M. Для равномерного вращения вокруг оси:

    $$ I = \frac{2}{5}MR^2, $$

    а момент импульса:

    $$ L = \frac{2}{5}MR^2 \omega. $$

Закон изменения момента импульса

Из второго закона Ньютона для вращательного движения следует:

$$ \frac{d\mathbf{L}_O}{dt} = \mathbf{M}_O, $$

где MO — главный момент внешних сил относительно точки O.

Этот закон играет ту же роль для вращательного движения, что и второй закон Ньютона для поступательного: скорость изменения момента импульса пропорциональна приложенному внешнему моменту сил.

Оглавление