Момент инерции является основной величиной, характеризующей распределение массы твердого тела относительно оси вращения. Если масса и её распределение определяют динамику поступательного движения, то момент инерции играет аналогичную роль в динамике вращательного движения. Он определяет инертность тела при изменении угловой скорости и входит в аналог второго закона Ньютона для вращательных систем.
Математически момент инерции тела относительно оси вращения определяется выражением:
I = ∫r2 dm,
где r — расстояние элемента массы dm от оси вращения. Таким образом, чем дальше частицы тела расположены от оси, тем больший вклад они вносят в момент инерции.
Кинетическая энергия твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси выражается как
$$ T = \frac{1}{2} I \omega^2, $$
где ω — угловая скорость вращения.
Данное соотношение полностью аналогично формуле для поступательного движения: $\tfrac{1}{2}mv^2$. Масса здесь заменяется моментом инерции, а скорость — угловой скоростью.
Для дискретной системы материальных точек:
$$ I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2, $$
где mi — масса i-й частицы, ri — её расстояние до оси вращения.
Таким образом, момент инерции зависит не только от общей массы системы, но и от характера её распределения в пространстве.
1. Однородный стержень длины L и массы M:
$$ I = \frac{1}{12}ML^2, $$
$$ I = \frac{1}{3}ML^2. $$
2. Однородный диск радиуса R и массы M:
$$ I = \frac{1}{2}MR^2, $$
$$ I = \frac{1}{4}MR^2. $$
3. Однородная тонкая сфера радиуса R и массы M:
$$ I = \frac{2}{3}MR^2. $$
4. Однородный сплошной шар радиуса R и массы M:
$$ I = \frac{2}{5}MR^2. $$
Эти результаты широко используются при решении задач механики.
Если момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, известен и равен Ic, то момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей на расстояние a, выражается формулой:
I = Ic + Ma2,
где M — масса тела.
Эта теорема позволяет легко переходить от оси, проходящей через центр масс, к любой другой параллельной оси.
Момент инерции относительно произвольной оси можно вычислить с помощью теоремы о проекциях. Пусть заданы главные моменты инерции Ix, Iy, Iz относительно взаимно перпендикулярных осей, проходящих через одну точку (обычно выбирается центр масс). Тогда момент инерции относительно оси, имеющей направления косинусы α, β, γ, равен:
I = Ixα2 + Iyβ2 + Izγ2.
Для описания распределения массы в пространстве используется тензор инерции второго ранга. Его компоненты определяются интегралами:
Ixx = ∫(y2 + z2) dm, Iyy = ∫(x2 + z2) dm, Izz = ∫(x2 + y2) dm,
Ixy = −∫xy dm, Ixz = −∫xz dm, Iyz = −∫yz dm.
Тензор инерции позволяет вычислять момент инерции относительно любой оси, а также определять так называемые главные моменты инерции — собственные значения тензора.
Для любого твердого тела всегда можно найти такие оси, относительно которых произведения инерции обращаются в ноль, и момент инерции принимает экстремальные значения. Эти оси называются главными осями инерции. В случае тел, обладающих симметрией, главные оси совпадают с осями симметрии.
Второй закон Ньютона для вращательного движения формулируется как:
M = Iα,
где M — суммарный момент сил, действующих на тело, α — угловое ускорение.
Таким образом, момент инерции определяет меру сопротивления тела изменению угловой скорости, так же как масса определяет сопротивление изменению линейной скорости.