Неупругие столкновения

Столкновениями в механике называют кратковременные взаимодействия тел, при которых силы взаимодействия многократно превышают действующие внешние силы. Особый интерес представляют неупругие столкновения, при которых часть механической энергии системы тел необратимо переходит во внутреннюю энергию: в тепло, деформации, звуковые колебания.

Главное отличие неупругих столкновений от упругих заключается в том, что закон сохранения импульса выполняется всегда, но закон сохранения механической энергии в общем случае нарушается.

При частично неупругих столкновениях сохраняется лишь часть кинетической энергии движения центров масс, а при полностью неупругом столкновении тела после удара движутся вместе как одно целое.

Закон сохранения импульса

Пусть сталкиваются два тела массами m1 и m2 с начальными скоростями v⃗1 и v⃗2. После удара скорости тел изменяются и становятся u⃗1 и u⃗2.

Векторное уравнение сохранения импульса имеет вид:

m1v⃗1 + m2v⃗2 = m1u⃗1 + m2u⃗2.

Это уравнение выполняется всегда, независимо от характера столкновения.

Изменение кинетической энергии

Начальная кинетическая энергия системы:

$$ E_{\text{кин, нач}} = \tfrac{1}{2} m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_2^2. $$

Конечная кинетическая энергия:

$$ E_{\text{кин, кон}} = \tfrac{1}{2} m_1 u_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 u_2^2. $$

Разность энергий показывает потери:

ΔE = Eкин, нач − Eкин, кон.

Величина ΔE ≥ 0, и именно она соответствует переходу механической энергии в другие формы.

Коэффициент восстановления

Для количественного описания степени упругости или неупругости удара вводится коэффициент восстановления e:

$$ e = \frac{v_{2n}' - v_{1n}'}{v_{1n} - v_{2n}}, $$

где v1n, v2n — проекции скоростей тел на линию действия силы удара до столкновения, а v1n′, v2n′ — после столкновения.

  • e = 1 — абсолютно упругий удар.
  • 0 < e < 1 — частично неупругий удар.
  • e = 0 — абсолютно неупругий удар (тела движутся совместно).

Абсолютно неупругое столкновение

Наиболее яркий частный случай — когда после столкновения тела слипаются и движутся как единое целое.

Тогда конечная скорость общего центра масс:

$$ \vec{u} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}. $$

Кинетическая энергия после удара:

$$ E_{\text{кон}} = \tfrac{1}{2} (m_1 + m_2) u^2. $$

Потери энергии в этом случае максимальны:

$$ \Delta E = \tfrac{1}{2} m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_2^2 - \tfrac{1}{2}(m_1+m_2)u^2. $$

Пример: неупругое столкновение на прямой

Пусть шар массой m движется со скоростью v и сталкивается с таким же шаром, покоящимся на гладкой поверхности. После удара шары слипаются.

  • Начальный импульс: p = mv.
  • Конечная скорость объединённого тела массой 2m:

$$ u = \frac{mv}{2m} = \frac{v}{2}. $$

  • Потери энергии:

$$ \Delta E = \tfrac{1}{2}mv^2 - \tfrac{1}{2}(2m)\left(\tfrac{v}{2}\right)^2 = \tfrac{1}{4}mv^2. $$

Четверть начальной энергии перешла во внутреннюю.

Геометрическая интерпретация

В случае косого удара удобно использовать декартову систему координат, где одна ось направлена вдоль линии удара (нормаль), а другая — перпендикулярно ей (касательная).

  • По касательной импульс сохраняется и скорости тел вдоль этой оси остаются неизменными.
  • По нормали скорости изменяются согласно закону сохранения импульса и коэффициенту восстановления.

Такой метод упрощает решение задач о неупругих столкновениях в двух измерениях.

Применения

Неупругие столкновения встречаются во множестве физических и технических процессов:

  • движение автомобилей при авариях;
  • удары метеоритов о поверхность планет;
  • взаимодействие частиц в ядерной и атомной физике;
  • спортивные игры (например, столкновения игроков или удар мяча о поверхность).

Именно учет потерь энергии позволяет описывать реальные системы, отличающиеся от идеализированных моделей абсолютно упругих тел.

Оглавление