Нормальные координаты

Нормальные координаты играют ключевую роль в описании малых колебаний сложных механических систем. Они позволяют разложить движение системы на независимые гармонические моды, каждая из которых колеблется с собственной частотой. Рассмотрение нормальных координат упрощает анализ динамики и существенно облегчает вычисления для систем с множеством степеней свободы.

---

1. Общая постановка задачи малых колебаний

Рассмотрим механическую систему с n степенями свободы, координаты которой обозначены q₁, q₂, …, q_n. Пусть система находится в устойчивом равновесии при q_i = 0 для всех i. Малые отклонения от равновесия обозначим δq_i = q_i.

Для малых колебаний потенциальная энергия V системы может быть разложена в ряд Тейлора около положения равновесия, оставляя только члены второго порядка:

$$ V \approx V_0 + \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^n \frac{\partial^2 V}{\partial q_i \partial q_j} \bigg|_{q=0} q_i q_j = V_0 + \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^n K_{ij} q_i q_j, $$

где K_ij — элементы матрицы жесткости.

Кинетическая энергия системы в линейном приближении записывается как

$$ T = \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^n M_{ij} \dot{q}_i \dot{q}_j, $$

где M_ij — элементы матрицы масс, которая в общем случае может быть не диагональной.

Таким образом, уравнения движения для малых колебаний имеют вид

$$ \sum_{j=1}^n M_{ij} \ddot{q}_j + \sum_{j=1}^n K_{ij} q_j = 0, \quad i = 1, \dots, n. $$

Это система линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

---

2. Переход к нормальным координатам

Идея нормальных координат заключается в том, чтобы найти линейное преобразование

$$ q_i = \sum_{k=1}^n a_{ik} Q_k, $$

такое, что новые координаты Q_k описывают независимые гармонические осцилляторы, т.е. кинетическая и потенциальная энергии в этих координатах становятся диагональными:

$$ T = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \dot{Q}_k^2, \quad V = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \omega_k^2 Q_k^2, $$

где ω_k — собственные частоты нормальных мод.

Для нахождения матрицы a_ik необходимо решить обобщённую задачу о собственных значениях:

det (K − ω²M) = 0.

Решения ω_k² определяют частоты нормальных колебаний, а собственные векторы этой задачи a_k = (a_1k, a_2k, …, a_nk) задают форму соответствующей нормальной моды.

Каждая нормальная мода характеризуется тем, что все координаты системы колеблются с одной и той же частотой ω_k и фиксированными относительными амплитудами, заданными вектором a_k.

---

3. Свойства нормальных координат

1. Независимость: в нормальных координатах система распадается на n независимых гармонических осцилляторов, которые не взаимодействуют друг с другом.
2. Энергетическая диагонализация: полная энергия системы раскладывается на сумму энергий отдельных мод:

$$ E = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2} \dot{Q}_k^2 + \frac{1}{2} \omega_k^2 Q_k^2 \right). $$

3. Симметрия преобразования: если матрицы масс и жесткости симметричны (M = M^T, K = K^T), собственные векторы можно выбрать ортонормированными:

a_i^TMa_j = δ_ij.

4. Простота интегрирования: уравнения для каждой нормальной координаты сводятся к обычному уравнению гармонического осциллятора:

$$ \ddot{Q}_k + \omega_k^2 Q_k = 0, \quad Q_k(t) = A_k \cos (\omega_k t + \phi_k). $$

---

4. Примеры нормальных координат

1. Двухмассовая система с пружинами:

Две массы m₁ и m₂, соединённые тремя пружинами (концы закреплены), имеют два нормальных колебания:

• Синфазное: обе массы колеблются в одном направлении с одной частотой;
• Противофазное: массы колеблются в противоположных направлениях с большей частотой.

2. Молекулярные вибрации: в молекуле с n атомами существует 3n − 6 (или 3n − 5 для линейных молекул) нормальных колебаний, каждая из которых соответствует уникальной частоте и форме движения атомов.

---

5. Математические методы нахождения нормальных координат

1. Симметризация задачи: для систем с одинаковыми массами и симметричной геометрией часто можно выбрать комбинации координат, которые сразу диагонализируют матрицу жесткости.
2. Обобщённая собственная задача: для произвольных M и K решают

Ka_k = ω_k²Ma_k.

3. Нормировка собственных векторов: чтобы получить удобные выражения для энергии и преобразований, используют нормировку через массу:

a_i^TMa_j = δ_ij.

---

6. Физическая интерпретация

• Каждая нормальная координата Q_k описывает независимую модульную колебательную форму, которая может быть наблюдаема в экспериментах, например, в спектроскопии вибраций молекул или механике цепных систем.
• Сумма всех нормальных колебаний восстанавливает полное движение системы:

$$ q_i(t) = \sum_{k=1}^n a_{ik} Q_k(t). $$

• В малых колебаниях линейная суперпозиция нормальных мод полностью описывает динамику, что является мощным инструментом анализа сложных систем.