В механике систем с большим числом степеней свободы исследование колебаний существенно упрощается при введении понятия нормальных мод. Под нормальными модами понимают такие независимые формы движения, при которых все частицы системы совершают синхронные колебания с одной и той же частотой, а конфигурация системы сохраняет свою форму.
Каждая нормальная мода характеризуется:
Любое произвольное движение системы может быть разложено на суперпозицию нормальных мод, что аналогично разложению сложной функции в ряд по собственным функциям линейного оператора.
Пусть система описывается n степенями свободы, и пусть малые отклонения от положения равновесия выражаются через обобщённые координаты qi(t). Кинетическая и потенциальная энергии системы имеют вид
$$ T = \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^n a_{ij} \dot{q}_i \dot{q}_j, \quad V = \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^n b_{ij} q_i q_j, $$
где aij и bij — симметричные матрицы, связанные соответственно с массами и жёсткостями системы.
Уравнения движения следуют из лагранжевой формулировки:
$$ \sum_{j=1}^n a_{ij} \ddot{q}_j + \sum_{j=1}^n b_{ij} q_j = 0. $$
В матричной форме:
$$ \mathbf{A} \ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{B} \mathbf{q} = 0, $$
где A = (aij), B = (bij), q = (q1, q2, …, qn)T.
Для поиска решений предполагается гармонический вид:
q(t) = ueiωt,
где u — вектор амплитуд, ω — собственная частота. Подстановка в уравнение даёт:
(−ω2A + B)u = 0.
Это задача на собственные значения для обобщённой матрицы:
det (B − ω2A) = 0.
Решения определяют собственные частоты ωk, а соответствующие векторы uk задают нормальные моды.
Собственные векторы обладают ортогональностью в смысле скалярного произведения, определённого через матрицу масс:
uiTAuj = 0, i ≠ j.
Эта ортогональность обеспечивает возможность разложения любого движения в сумму независимых колебаний. Таким образом, вся динамика сложной системы представляется как линейная комбинация нормальных мод:
$$ \mathbf{q}(t) = \sum_{k=1}^n c_k \mathbf{u}_k e^{i \omega_k t}, $$
где коэффициенты ck определяются начальными условиями.
Рассмотрим два одинаковых маятника массы m, соединённых пружиной с жёсткостью k. Уравнения движения:
$$ m \ddot{x}_1 + k(x_1 - x_2) = 0, \quad m \ddot{x}_2 + k(x_2 - x_1) = 0. $$
В матричной форме:
$$ m \begin{pmatrix} \ddot{x}_1 \\ \ddot{x}_2 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0. $$
Характеристическое уравнение:
$$ \det\!\left(k \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} - m \omega^2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right) = 0. $$
Решения:
$$ \omega_1 = 0, \quad \omega_2 = \sqrt{\tfrac{2k}{m}}. $$
Соответствующие моды:
Таким образом, произвольное движение системы разлагается в линейную комбинацию этих двух нормальных мод.
Каждая нормальная мода задаёт определённую форму колебаний. В трёхмерных телах или в молекулах эти моды могут представлять продольные, поперечные или изгибные колебания. В случае молекулярной физики нормальные моды определяют спектры колебательной энергии, наблюдаемые в инфракрасной и рамановской спектроскопии.
В сплошных средах (струна, мембрана, упругая пластина) нормальные моды определяются как собственные функции уравнения колебаний с соответствующими граничными условиями. Они описывают стационарные формы колебаний (стоячие волны).
Энергия системы в нормальных координатах Qk(t), связанных с нормальными модами, принимает особенно простой вид:
$$ T = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \dot{Q}_k^2, \quad V = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \omega_k^2 Q_k^2. $$
Таким образом, каждая нормальная мода эквивалентна независимому гармоническому осциллятору с собственной частотой ωk.