Орбитальная механика

Орбитальная механика — раздел классической механики, изучающий движение тел под действием центральных сил, прежде всего гравитации. Основное внимание уделяется движению планет, спутников и космических аппаратов вокруг массивных тел, таких как планеты или звезды. Основой теории является закон всемирного тяготения и законы Ньютона.

Центральные силы — силы, направленные вдоль радиуса, соединяющего центр тяжести тела и точку приложения силы, и зависящие только от расстояния между телами:

F⃗ = F(r)r̂.

Для гравитационного взаимодействия сила выражается законом Ньютона:

$$ \vec{F} = - G \frac{m_1 m_2}{r^2} \hat{r}. $$

Уравнения движения в центральном поле

Для тела массы m, движущегося под действием центральной силы F(r), уравнения движения в декартовых координатах задаются через второй закон Ньютона:

$$ m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = \vec{F}(r). $$

В полярной системе координат (r, θ) радиальная и угловая компоненты движения описываются как:

$$ m\left(\ddot{r} - r \dot{\theta}^2 \right) = F(r), $$

$$ \frac{d}{dt}\left(m r^2 \dot{\theta}\right) = 0. $$

Последнее уравнение отражает сохранение момента импульса:

L = mr2θ̇ = const.

Это фундаментальное свойство движения в центральном поле позволяет уменьшить задачу до одномерного движения вдоль радиуса с эффективным потенциалом:

$$ U_\text{eff}(r) = U(r) + \frac{L^2}{2 m r^2}. $$

Закон Кеплера и его вывод

Из закона всемирного тяготения и второго закона Ньютона можно вывести законы Кеплера:

  1. Первая закон Кеплера — закон орбит: Орбиты планет являются эллипсами, с массой центрального тела в одном из фокусов. Эллипс задаётся уравнением:

    $$ r(\theta) = \frac{p}{1 + e \cos\theta}, $$

    где $p = \frac{L^2}{G M m^2}$ — параметр орбиты, e — эксцентриситет.

  2. Вторая закон Кеплера — закон площадей: Радиус-вектор планеты описывает равные площади за равные промежутки времени:

    $$ \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta} = \text{const}. $$

  3. Третья закон Кеплера — гармонический закон: Квадрат периода обращения T пропорционален кубу большой полуоси a:

    $$ T^2 = \frac{4 \pi^2}{G M} a^3. $$

Энергия и устойчивость орбит

Полная механическая энергия тела в гравитационном поле:

$$ E = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{G M m}{r}. $$

Через эффективный потенциал:

$$ E = \frac{1}{2} m \dot{r}^2 + U_\text{eff}(r). $$

Виды орбит по энергии:

  • E < 0 — замкнутая орбита (эллипс),
  • E = 0 — параболическая орбита,
  • E > 0 — гиперболическая орбита (открытая).

Уравнение для радиального движения позволяет анализировать устойчивость орбиты: минимум Ueff соответствует стабильной круговой орбите с радиусом r0:

$$ \frac{dU_\text{eff}}{dr}\Big|_{r_0} = 0 \quad \Rightarrow \quad r_0 = \frac{L^2}{G M m^2}. $$

Манёвры и переходные орбиты

В практической космонавтике изучают переходы между орбитами:

  • Гомановские переходные орбиты: эллиптическая орбита, соединяющая две круговые орбиты разных радиусов.
  • Интерпланетные перелёты: рассчитываются с использованием законов Кеплера и импульсных манёвров.
  • Баллистические манёвры: применяются для выхода на гиперболические траектории.

Импульсное изменение скорости Δv для перехода вычисляется через разницу орбитальных скоростей:

$$ \Delta v = \sqrt{\frac{G M}{r_1}} \left(\sqrt{\frac{2 r_2}{r_1 + r_2}} - 1\right). $$

Возмущения и реальные орбиты

В реальных условиях движение тел отличается от идеального закона Кеплера из-за:

  • неоднородности гравитационного поля (геоид Земли),
  • влияния третьих тел (например, Луна на спутники Земли),
  • сопротивления атмосферы для низкоорбитальных аппаратов,
  • солнечного ветра и радиационного давления.

Эти эффекты учитываются через поправки к элементам орбиты:

Ω̇,  ω̇,  ė,  i̇

— изменения долготы восходящего узла, аргумента перицентра, эксцентриситета и наклонения.

Применение орбитальной механики

  1. Космическая навигация — расчёт орбит спутников, межпланетных станций.
  2. Спутниковая связь — определение геостационарных орбит, оптимизация периодов обращения.
  3. Системы наблюдения Земли — планирование низкоорбитальных спутниковых группировок.
  4. Межпланетные миссии — выбор оптимальных траекторий с минимальными затратами топлива.
Оглавление