Вращательное движение тел является фундаментальной формой механического движения наряду с поступательным. В отличие от поступательного, при котором все точки тела движутся одинаково, вращательное характеризуется изменением углового положения тела вокруг оси. Для описания вращения вводятся такие величины, как угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение.
Основное внимание уделяется не только кинематическому описанию вращения, но и динамическому — то есть исследованию связи между действующими на тело силами и его угловым движением.
Аналогом силы в поступательном движении выступает момент силы в вращательном.
Момент силы относительно оси O определяется как векторная величина:
M⃗ = r⃗ × F⃗,
где
По модулю момент силы равен:
M = F ⋅ r ⋅ sin φ,
где φ — угол между векторами r⃗ и F⃗.
Именно момент силы определяет способность силы вызывать вращение тела вокруг данной оси.
Аналогом импульса в поступательном движении является момент импульса (или угловой момент):
L⃗ = r⃗ × mv⃗,
где m — масса точки, v⃗ — её скорость.
Для системы частиц или твёрдого тела момент импульса равен векторной сумме:
L⃗ = ∑ir⃗i × miv⃗i.
Важнейшая связь: изменение момента импульса во времени пропорционально внешнему моменту сил:
$$ \frac{d \vec{L}}{dt} = \vec{M}_{\text{внеш}}. $$
Эта формула является основой динамики вращательного движения.
Чтобы перейти от отдельных материальных точек к описанию твёрдого тела, вводится величина момента инерции:
I = ∑imiri2,
где ri — расстояние i-й точки массы от оси вращения.
Для непрерывно распределённой массы:
I = ∫r2 dm.
Момент инерции играет такую же роль в уравнениях вращательного движения, как масса в уравнениях поступательного движения.
Пусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси. В этом случае его угловой момент направлен вдоль оси вращения и выражается как:
L = Iω,
где ω — угловая скорость.
Производная по времени даёт:
$$ \frac{dL}{dt} = I \frac{d\omega}{dt} = I \alpha, $$
где α — угловое ускорение.
Согласно общей теореме о моменте импульса:
$$ M = \frac{dL}{dt}. $$
Следовательно,
M = Iα.
Это и есть основное уравнение динамики вращательного движения, связывающее суммарный момент внешних сил, действующих на тело, с угловым ускорением.
Сопоставим основные уравнения:
F = ma,
где сила F вызывает ускорение центра масс a.
M = Iα,
где момент силы M вызывает угловое ускорение α.
Таким образом, момент инерции I играет роль массы в законах вращательного движения.
$$ I = \frac{1}{12} m l^2. $$
$$ I = \frac{1}{2} m R^2. $$
I = mR2.
Эти формулы широко применяются при решении задач динамики вращения.
Аналогично поступательному движению, работа момента силы на угловом перемещении равна:
A = ∫M dφ,
где dφ — малый угол поворота.
Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела:
$$ T = \frac{1}{2} I \omega^2. $$
Таким образом, момент инерции входит и в выражения для энергии вращательного движения.
M = Iα
является отправной точкой для нахождения периода колебаний.
Вращение маховика — момент инерции обеспечивает накопление энергии, а уравнение динамики определяет разгон и торможение маховика под действием моментов сил.
Механизмы и машины — расчёт крутящего момента двигателей, элементов трансмиссий и рабочих органов машин напрямую связан с уравнением вращательного движения.