Относительное движение изучает перемещение тел и точек с учетом выбора различных систем отсчета. В классической механике система отсчета определяется как тело или совокупность тел, относительно которых измеряются координаты, скорости и ускорения других объектов. Ключевым моментом является то, что траектория и скорость одного и того же тела могут различаться при переходе от одной системы отсчета к другой.
Обозначим:
Тогда справедлива основная формула относительного движения:
r⃗ = R⃗ + r⃗′.
Из этого выражения выводятся ключевые соотношения для скорости и ускорения.
Дифференцируя уравнение r⃗ = R⃗ + r⃗′ по времени, получаем связь скоростей:
$$ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d\vec{R}}{dt} + \frac{d\vec{r}'}{dt} = \vec{V} + \vec{v}', $$
где
Дифференцируя скорость, получаем ускорение:
$$ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d\vec{V}}{dt} + \frac{d\vec{v}'}{dt} + 2 \vec{\omega} \times \vec{v}' + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}') + \frac{d\vec{\omega}}{dt} \times \vec{r}', $$
где ω⃗ — угловая скорость вращения подвижной системы отсчета относительно инерциальной. Здесь выделяются три составляющие:
Эти выражения позволяют описывать движение тел относительно вращающихся и ускоряющихся систем отсчета.
Системы отсчета подразделяются на:
Для чисто поступательного движения (ω⃗ = 0):
v⃗ = V⃗ + v⃗′, a⃗ = A⃗ + a⃗′.
Для вращательной системы:
$$ \vec{v} = \vec{V} + \vec{v}' + \vec{\omega} \times \vec{r}', \quad \vec{a} = \vec{A} + \vec{a}' + 2 \vec{\omega} \times \vec{v}' + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}') + \frac{d\vec{\omega}}{dt} \times \vec{r}'. $$
Простейший случай: движение вдоль одной линии (например, прямая x):
vx = Vx + vx′.
Это выражение лежит в основе анализа относительной скорости движущихся объектов: например, скорость поезда относительно Земли и скорость пассажира относительно поезда.
В трехмерном случае применяется векторная форма:
v⃗ = V⃗ + v⃗′.
При анализе движения на криволинейных траекториях в подвижной системе необходимо учитывать угловую скорость ω⃗, что вводит корриолисовы и центробежные ускорения.
Поступательное движение системы:
a⃗ = A⃗ + a⃗′.
Вращательное движение системы:
$$ \vec{a} = \vec{A} + \vec{a}' + 2 \vec{\omega} \times \vec{v}' + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}') + \frac{d\vec{\omega}}{dt} \times \vec{r}'. $$
Эти законы позволяют:
Для описания движения в ускоренной системе вводятся инерциальные силы, которые математически компенсируют ускорение системы:
Эти силы не возникают из взаимодействий между телами, а лишь отражают эффект перехода в ускоренную систему отсчета.
Земля как вращающаяся система:
Поезд, движущийся с постоянной скоростью:
Спутники на орбите: