Относительное движение

Относительное движение изучает перемещение тел и точек с учетом выбора различных систем отсчета. В классической механике система отсчета определяется как тело или совокупность тел, относительно которых измеряются координаты, скорости и ускорения других объектов. Ключевым моментом является то, что траектория и скорость одного и того же тела могут различаться при переходе от одной системы отсчета к другой.

Обозначим:

  • r⃗ — радиус-вектор точки в инерциальной системе отсчета OXYZ,
  • R⃗ — радиус-вектор начала координат подвижной системы отсчета OXYZ,
  • r⃗ — радиус-вектор точки в подвижной системе отсчета.

Тогда справедлива основная формула относительного движения:

r⃗ = R⃗ + r⃗′.

Из этого выражения выводятся ключевые соотношения для скорости и ускорения.


Скорость и ускорение в разных системах отсчета

Дифференцируя уравнение r⃗ = R⃗ + r⃗ по времени, получаем связь скоростей:

$$ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d\vec{R}}{dt} + \frac{d\vec{r}'}{dt} = \vec{V} + \vec{v}', $$

где

  • v⃗ — скорость тела в инерциальной системе,
  • $\vec{V} = \frac{d\vec{R}}{dt}$ — скорость начала подвижной системы отсчета,
  • v⃗ — скорость тела в подвижной системе отсчета.

Дифференцируя скорость, получаем ускорение:

$$ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d\vec{V}}{dt} + \frac{d\vec{v}'}{dt} + 2 \vec{\omega} \times \vec{v}' + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}') + \frac{d\vec{\omega}}{dt} \times \vec{r}', $$

где ω⃗ — угловая скорость вращения подвижной системы отсчета относительно инерциальной. Здесь выделяются три составляющие:

  1. Прямое ускорение $\frac{d\vec{v}'}{dt}$ в подвижной системе.
  2. Корриолисово ускорение 2ω⃗ × v⃗, возникающее при вращении системы.
  3. Центробежное ускорение ω⃗ × (ω⃗ × r⃗′) и дополнительное ускорение, связанное с изменением угловой скорости $\frac{d\vec{\omega}}{dt} \times \vec{r}'$.

Эти выражения позволяют описывать движение тел относительно вращающихся и ускоряющихся систем отсчета.


Поступательное и вращательное движение системы отсчета

Системы отсчета подразделяются на:

  • Инерциальные, движущиеся с постоянной скоростью и без вращения; здесь выполняются классические законы Ньютона без поправок.
  • Неинерциальные, ускоренные или вращающиеся; для них необходимо вводить дополнительные фиктивные силы, чтобы корректно описывать движение.

Для чисто поступательного движения (ω⃗ = 0):

v⃗ = V⃗ + v⃗′,  a⃗ = A⃗ + a⃗′.

Для вращательной системы:

$$ \vec{v} = \vec{V} + \vec{v}' + \vec{\omega} \times \vec{r}', \quad \vec{a} = \vec{A} + \vec{a}' + 2 \vec{\omega} \times \vec{v}' + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}') + \frac{d\vec{\omega}}{dt} \times \vec{r}'. $$


Закон сложения скоростей

Простейший случай: движение вдоль одной линии (например, прямая x):

vx = Vx + vx′.

Это выражение лежит в основе анализа относительной скорости движущихся объектов: например, скорость поезда относительно Земли и скорость пассажира относительно поезда.

В трехмерном случае применяется векторная форма:

v⃗ = V⃗ + v⃗′.

При анализе движения на криволинейных траекториях в подвижной системе необходимо учитывать угловую скорость ω⃗, что вводит корриолисовы и центробежные ускорения.


Закон сложения ускорений

Поступательное движение системы:

a⃗ = A⃗ + a⃗′.

Вращательное движение системы:

$$ \vec{a} = \vec{A} + \vec{a}' + 2 \vec{\omega} \times \vec{v}' + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}') + \frac{d\vec{\omega}}{dt} \times \vec{r}'. $$

Эти законы позволяют:

  • Проводить расчеты траекторий тел в подвижных системах.
  • Определять действительные и фиктивные силы в неинерциальных системах.
  • Понимать природу эффекта корриолиса и центробежной силы.

Фиктивные силы в неинерциальных системах

Для описания движения в ускоренной системе вводятся инерциальные силы, которые математически компенсируют ускорение системы:

  1. Сила инерции: F⃗ин = −mA⃗, при поступательном ускорении системы.
  2. Центробежная сила: F⃗ц = −mω⃗ × (ω⃗ × r⃗′), при вращении системы.
  3. Сила Корриолиса: F⃗к = −2mω⃗ × v⃗, проявляется при движении тела в вращающейся системе.
  4. Сила Эйлера: $\vec{F}_{\text{Э}} = - m \frac{d\vec{\omega}}{dt} \times \vec{r}'$, при изменении угловой скорости системы.

Эти силы не возникают из взаимодействий между телами, а лишь отражают эффект перехода в ускоренную систему отсчета.


Примеры применения

  1. Земля как вращающаяся система:

    • Эффект Корриолиса объясняет отклонение течений воздуха и направления полета снарядов.
    • Центробежная сила слегка изменяет вес тел на экваторе.
  2. Поезд, движущийся с постоянной скоростью:

    • Внутри вагона движение пассажиров подчиняется законам Ньютона; инерциальные силы не нужны, так как система практически инерциальна.
  3. Спутники на орбите:

    • Их движение относительно Земли анализируется в неинерциальной системе, учитывая центробежные и гравитационные силы.

Выводы по относительному движению

  • Все движения зависят от выбора системы отсчета.
  • Для инерциальных систем законы Ньютона применяются напрямую.
  • Для неинерциальных систем необходимо вводить фиктивные силы.
  • Основные формулы относительного движения позволяют последовательно вычислять координаты, скорости и ускорения в любой выбранной системе отсчета.