Плоским движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях, перпендикулярных к некоторой неподвижной прямой. В общем случае, плоское движение может быть разложено на комбинацию поступательного движения центра масс и вращательного движения вокруг некоторой оси, перпендикулярной плоскости движения.
Твердое тело, совершающее плоское движение, имеет шесть степеней свободы в пространстве. Ограничение его движения одной плоскостью уменьшает количество степеней свободы до трёх: две координаты, определяющие положение центра масс в плоскости, и один угол, характеризующий вращение тела относительно оси, перпендикулярной этой плоскости.
Таким образом, всякая конфигурация плоского движения твердого тела описывается системой:
Пусть тело движется в плоскости XY, а его мгновенная угловая скорость равна ω, направлена вдоль оси Z. Тогда скорость произвольной точки тела A, имеющей радиус-вектор
r⃗A = r⃗O + ρ⃗,
где r⃗O – радиус-вектор выбранной опорной точки O (часто берётся центр масс), а ρ⃗ – вектор от точки O к точке A, определяется выражением:
v⃗A = v⃗O + ω⃗ × ρ⃗.
Таким образом, скорость любой точки равна сумме скорости опорной точки и скорости вращательного движения вокруг этой точки.
Особо важно понятие полюса мгновенного вращения – такой точки тела, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Всякое плоское движение твердого тела в данный момент эквивалентно чистому вращению вокруг полюса мгновенного вращения.
Аналогично для ускорений:
a⃗A = a⃗O + ε⃗ × ρ⃗ + ω⃗ × (ω⃗ × ρ⃗),
где ε⃗ – угловое ускорение.
В этой формуле:
Пусть на твердое тело действует система сил. Тогда выполняются следующие уравнения:
ma⃗C = ∑F⃗,
где a⃗C – ускорение центра масс, m – масса тела, ∑F⃗ – равнодействующая внешних сил.
ICε = ∑MC,
где IC – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости движения, ε – угловое ускорение, ∑MC – момент внешних сил относительно центра масс.
Для удобства часто используется теорема Кёнига, которая связывает кинетическую энергию тела при плоском движении с энергией поступательного и вращательного движения:
$$ T = \frac{1}{2} m v_C^2 + \frac{1}{2} I_C \omega^2, $$
где vC – скорость центра масс.
Таким образом, полная кинетическая энергия складывается из энергии поступательного движения всей массы, сосредоточенной в центре масс, и энергии вращательного движения тела относительно центра масс.
При анализе плоского движения важную роль играет мгновенный центр скоростей (или полюс). Положение этой точки можно определить из геометрических соотношений скоростей точек тела. Если известны скорости двух точек тела, то проведенные через них перпендикуляры к векторам скоростей пересекутся в мгновенном центре. В этот момент тело вращается вокруг данной точки с угловой скоростью ω.
Плоское движение объединяет в себе поступательное и вращательное. Если поступательная составляющая доминирует, то траектории точек тела близки к параллельным прямым. Если вращательная — траектории представляют собой дуги окружностей.
Рассмотрим пример: колесо, катящееся без скольжения по плоскости. Здесь скорость центра колеса определяется поступательным движением, а каждая точка обода имеет сложную комбинацию поступательной и вращательной скорости. При этом мгновенным центром вращения в данный момент является точка соприкосновения колеса с плоскостью.
Для более сложных систем удобно использовать лагранжев формализм. Если обобщёнными координатами выбрать две координаты центра масс (x, y) и угол поворота φ, то кинетическая энергия принимает вид:
$$ T = \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + \frac{1}{2} I_C \dot{\varphi}^2. $$
При известных потенциальных силах можно составить лагранжевы уравнения второго рода и получить систему уравнений движения твердого тела в плоскости.