Рассмотрим тонкую гибкую струну длиной L, закреплённую на концах и находящуюся под действием постоянного натяжения T. Пусть отклонение струны от положения равновесия в поперечном направлении описывается функцией
y(x, t),
где x ∈ [0, L] — координата вдоль струны, t — время.
Если масса единицы длины струны равна μ, то элемент длиной Δx имеет массу μΔx. Основное предположение: отклонения малы, углы наклона струны малы, и потому $\sin \theta \approx \tan \theta \approx \frac{\partial y}{\partial x}$.
Рассмотрим элемент струны. Силы натяжения на концах этого элемента имеют величину T, но различные направления. Вертикальные компоненты этих сил равны:
$$ F_y = T \left( \frac{\partial y}{\partial x}\bigg|_{x+\Delta x} - \frac{\partial y}{\partial x}\bigg|_{x} \right). $$
Согласно второму закону Ньютона, для поперечного движения:
$$ \mu \Delta x \, \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = T \left( \frac{\partial y}{\partial x}\bigg|_{x+\Delta x} - \frac{\partial y}{\partial x}\bigg|_{x} \right). $$
В пределе Δx → 0:
$$ \mu \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = T \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}. $$
Таким образом получаем фундаментальное уравнение поперечных колебаний струны:
$$ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}, \quad v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}. $$
Здесь v — скорость распространения поперечной волны вдоль струны.
Уравнение волны допускает решения в виде суперпозиции бегущих волн:
y(x, t) = f(x − vt) + g(x + vt),
где f и g — произвольные функции, представляющие соответственно волну, бегущую вправо и влево.
В случае конечной струны с закреплёнными концами y(0, t) = 0, y(L, t) = 0, решения принимают форму стоячих волн.
Ищем решение в виде гармонических функций:
y(x, t) = Y(x)cos (ωt + φ).
Подставим в уравнение волны:
−ω2Y(x) = v2Y″(x).
Решение уравнения для пространственной части:
$$ Y(x) = A \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \quad n = 1,2,3,\ldots $$
где условия закрепления концов автоматически выполняются. Таким образом, собственные частоты струны:
$$ \omega_n = \frac{n\pi v}{L}, \quad f_n = \frac{n v}{2L}. $$
Стоячие волны формируются как суперпозиция двух встречных бегущих волн. Узлы находятся в точках x = 0, L, а также внутри струны для n > 1.
Каждое нормальное колебание характеризуется частотой fn. Первая частота $f_1 = \frac{v}{2L}$ называется основной. Все остальные частоты являются целыми кратными основной и называются обертонами или гармониками.
Таким образом, спектр струнного колебания дискретен и образует гармонический ряд:
fn = nf1, n = 1, 2, 3, …
Это свойство лежит в основе музыкальных инструментов со струнной системой.
Энергия струны состоит из кинетической и потенциальной. Для элемента длиной dx:
$$ dE_k = \frac{1}{2} \mu \left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2 dx. $$
$$ dE_p = \frac{1}{2} T \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2 dx. $$
Полная энергия системы:
$$ E = \frac{1}{2} \int_0^L \left[ \mu \left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^2 + T \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2 \right] dx. $$
Энергия колебаний распространяется вдоль струны с той же скоростью v, что и волна.
При распространении поперечной волны по струне возможны отражения и интерференция.
Суперпозиция прямой и отражённой волны приводит к возникновению стоячих волн.
Реальная струна подвержена затуханию из-за внутреннего трения, сопротивления воздуха и потерь энергии в опорах. В этом случае уравнение волны модифицируется:
$$ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} + 2\gamma \frac{\partial y}{\partial t} = v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}, $$
где γ — коэффициент затухания.
Решения принимают вид затухающих стоячих или бегущих волн: амплитуда постепенно уменьшается по экспоненциальному закону.