Для количественного описания гравитационного поля удобно ввести скалярную функцию – гравитационный потенциал. Пусть масса m помещена в точку пространства, где действует гравитационное поле. Потенциальная энергия этой массы в поле источника масс равна
U = mφ,
где φ – гравитационный потенциал, не зависящий от величины пробной массы m. Таким образом, потенциал характеризует поле в данной точке и определяется как потенциальная энергия единичной массы.
Единицей измерения потенциала в СИ является Дж/кг = м2/с2.
Рассмотрим поле, создаваемое точечной массой M, находящейся в начале координат. Потенциальная энергия пробной массы m на расстоянии r от источника:
$$ U(r) = - \frac{G M m}{r}. $$
Следовательно, гравитационный потенциал равен
$$ \varphi(r) = - \frac{G M}{r}. $$
Знак «минус» указывает на то, что силы гравитации всегда направлены к источнику, а для удаления массы на бесконечность необходимо совершить положительную работу против поля.
Если поле создаётся системой дискретных масс Mi, расположенных в точках с радиус-векторами ri, то потенциал в произвольной точке r определяется как сумма:
$$ \varphi(\mathbf{r}) = - G \sum_i \frac{M_i}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_i|}. $$
Для непрерывного распределения массы с плотностью ρ(r′) формула принимает интегральный вид:
$$ \varphi(\mathbf{r}) = -G \int_V \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \, dV'. $$
Таким образом, потенциал определяется суперпозицией – свойством линейности гравитационного поля.
Напряжённость гравитационного поля g связана с потенциалом как с его градиентом:
g = −∇φ.
Это уравнение означает, что силовые линии гравитации направлены в сторону убывания потенциала, а величина напряжённости равна скорости его изменения.
Для произвольного распределения массы потенциал удовлетворяет дифференциальному уравнению Пуассона:
∇2φ = 4πGρ,
где ρ – массовая плотность. В областях, свободных от массы, уравнение принимает вид уравнения Лапласа:
∇2φ = 0.
Эти уравнения играют фундаментальную роль в теории гравитационного поля и позволяют находить потенциал в задачах с симметрией.
Рассмотрим равномерно заполненную шаровую массу радиусом R и массой M.
Снаружи сферы (r ≥ R):
$$ \varphi(r) = - \frac{G M}{r}, $$
что полностью совпадает с выражением для точечной массы, сосредоточенной в центре.
Внутри сферы (r < R):
$$ \varphi(r) = - \frac{G M}{2R^3} \left(3R^2 - r^2\right). $$
Здесь видно, что потенциал изменяется квадратично с расстоянием от центра. Максимальное (наиболее отрицательное) значение достигается в центре сферы:
$$ \varphi(0) = - \frac{3GM}{2R}. $$
Множество точек, где потенциал имеет одно и то же значение, образует эквипотенциальную поверхность.
Эквипотенциальные поверхности играют важную роль в визуализации гравитационного поля и в практических задачах, например, при исследовании геоида Земли.
Реальное поле Земли отличается от простого поля точечной массы, поскольку Земля обладает сплюснутостью и неоднородным распределением плотности. Потенциал записывается как сумма сферически симметричного и поправочных членов:
$$ \varphi(\mathbf{r}) = - \frac{GM}{r} \left[ 1 - J_2 \left( \frac{R}{r} \right)^2 P_2(\cos \theta) + \ldots \right], $$
где J2 – коэффициент зональной гармоники, θ – геоцентрическая широта, P2 – полином Лежандра второго порядка.
Такое разложение используется в геофизике и небесной механике для точных расчётов орбит спутников и движения Луны.
Работа, совершаемая при перемещении массы m из точки с потенциалом φ1 в точку с потенциалом φ2, равна:
A = m(φ1 − φ2).
Таким образом, физический смысл разности потенциалов заключается в работе, необходимой для переноса единичной массы между двумя точками.
Гравитационный потенциал играет ключевую роль в законах сохранения: