Преобразования Лоренца

Преобразования Лоренца лежат в основе специальной теории относительности и описывают, как координаты и время одного события изменяются при переходе между двумя инерциальными системами отсчета, движущимися относительно друг друга с постоянной скоростью. В отличие от преобразований Галилея, они учитывают конечную скорость света c, которая является предельной скоростью передачи информации и взаимодействий.

Пусть система отсчета S движется относительно системы S вдоль оси x с постоянной скоростью v. Тогда преобразования Лоренца имеют вид:

$$ \begin{cases} x' = \gamma (x - vt), \\ y' = y, \\ z' = z, \\ t' = \gamma \left(t - \frac{vx}{c^2}\right), \end{cases} $$

где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$фактор Лоренца.

Ключевой особенностью является то, что время и пространственные координаты «смешиваются», что приводит к явлениям замедления времени и сокращения длины.


Фактор Лоренца и его физическое значение

Фактор Лоренца γ определяется выражением:

$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. $$

При v ≪ c выполняется γ ≈ 1, и преобразования Лоренца переходят в привычные преобразования Галилея:

x′ ≈ x − vt,  t′ ≈ t.

При v → c γ → ∞, что отражает невозможность достижения скорости света объектом с ненулевой массой.


Относительность одновременности

В специальной теории относительности одновременность событий не является абсолютной. Два события, одновременные в одной системе отсчета, могут происходить в разное время в другой системе:

$$ \Delta t' = \gamma \left( \Delta t - \frac{v \Delta x}{c^2} \right). $$

Следовательно, понятие «сейчас» зависит от скорости наблюдателя.


Замедление времени

Эффект замедления времени заключается в том, что часы, движущиеся относительно наблюдателя, идут медленнее. Если Δt0 — время, измеренное в системе, где часы покоятся, то для наблюдателя, движущегося со скоростью v:

Δt = γΔt0.

Пример: космический корабль, движущийся со скоростью близкой к c, переживает более короткий промежуток времени по сравнению с наблюдателем на Земле.


Сокращение длины

Сокращение длины наблюдается вдоль направления движения:

$$ L = \frac{L_0}{\gamma}, $$

где L0 — длина объекта в системе покоя, а L — длина в системе, относительно которой объект движется. Поперечные размеры остаются неизменными.


Преобразования скоростей

Преобразования Лоренца также применяются к скоростям. Если в системе S объект движется со скоростью u⃗′ = (ux, uy, uz), то в системе S:

$$ u_x = \frac{u'_x + v}{1 + \frac{u'_x v}{c^2}}, \quad u_y = \frac{u'_y}{\gamma \left(1 + \frac{u'_x v}{c^2}\right)}, \quad u_z = \frac{u'_z}{\gamma \left(1 + \frac{u'_x v}{c^2}\right)}. $$

Особенно важно, что скорость света c остается инвариантной:

u′ = c ⟹ u = c.

Это принципиальное отличие от преобразований Галилея.


Преобразования Лоренца в четырехмерном пространстве

В специальной теории относительности удобно использовать четырехмерное пространство событий (ct, x, y, z). Тогда преобразования Лоренца можно записать в виде матрицы:

$$ \begin{pmatrix} ct' \\ x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0 \\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad \beta = \frac{v}{c}. $$

Такое представление упрощает вычисления при сложных преобразованиях и демонстрирует симметрию пространства-времени.


Инвариантность интервала

Ключевым следствием преобразований Лоренца является инвариантность пространственно-временного интервала:

s2 = c2t2 − x2 − y2 − z2 = c2t2 − x2 − y2 − z2.

Инвариантность интервала определяет causal structure и обеспечивает фундаментальные ограничения на движение и взаимодействие тел.


Обобщенные преобразования и группы Лоренца

Преобразования Лоренца образуют группу, которая включает:

  • Повороты в пространстве (сохранение длины в трёхмерном пространстве),
  • Бусты вдоль различных направлений (движение с постоянной скоростью),
  • Отражения и инверсии.

Групповая структура позволяет анализировать симметрии законов физики и служит основой для теории поля и квантовой механики.


Применения преобразований Лоренца

  • Физика частиц: расчёт движения релятивистских частиц в ускорителях.
  • Космология: анализ космических лучей и наблюдаемых явлений на больших скоростях.
  • Электродинамика: преобразования полей E⃗ и B⃗ между системами отсчета.
  • Навигация и спутниковые технологии: коррекция времени в GPS-системах.

Преобразования Лоренца позволяют сохранять согласованность физических законов в любых инерциальных системах и являются фундаментом современной теоретической физики.