Приливные силы — это результат дифференциального действия гравитационного поля одного небесного тела на различные части другого тела. В отличие от простого притяжения, которое действует на центр масс, приливные силы проявляются из-за различий в силе гравитационного воздействия на разные участки тела. Эти силы играют ключевую роль в астрономии, геофизике и механике сплошных сред, оказывая влияние на орбитальное движение, вращение планет и внутреннюю деформацию тел.
Рассмотрим два тела: массивное (например, планету) и менее массивное (например, спутник). Сила гравитационного притяжения на ближней к массивному телу стороне спутника больше, чем на дальней стороне. Разность этих сил создаёт приливное напряжение, которое стремится растянуть спутник вдоль линии, соединяющей его с массивным телом.
Для тела массой m, расположенного на расстоянии r от массивного объекта с массой M, гравитационная сила выражается законом Ньютона:
$$ F_g = G \frac{M m}{r^2} $$
Дифференциальная (приливная) сила между ближней и дальней точками тела длиной Δr аппроксимируется как:
$$ F_\text{прилив} \approx 2 G \frac{M m}{r^3} \Delta r $$
где Δr ≪ r. Ключевой момент: сила обратно пропорциональна кубу расстояния, а не квадрату, как обычная гравитационная сила.
Под действием приливной силы тело испытывает растяжение вдоль линии наибольшего притяжения и сжатие в перпендикулярных направлениях. Это объясняет характерную «эллипсоидную» форму небесных тел, например, спутников, находящихся под сильным гравитационным воздействием планеты.
Математически деформации можно описать через потенциал приливной силы Utidal:
$$ U_\text{tidal}(\mathbf{r}) = - G M \left( \frac{1}{|\mathbf{R} + \mathbf{r}|} - \frac{\mathbf{R} \cdot \mathbf{r}}{R^3} \right) $$
где R — радиус-вектор от центра массивного тела до центра масс рассматриваемого тела, а r — радиус-вектор внутри тела относительно его центра масс.
Наиболее изученный пример приливных сил — система Земля–Луна. Приливные силы Луны вызывают два приливных горба на океанах Земли: один обращён к Луне, другой — в противоположную сторону. Механизм образования этих горбов связан с дифференциальным гравитационным воздействием:
Эти приливы создают энергетические потери через трение воды о дно океанов, что приводит к постепенному замедлению вращения Земли и увеличению расстояния до Луны.
Приливные силы оказывают влияние не только на поверхность планет и океаны, но и на внутренние структуры небесных тел:
Для элементарного объема dm тела, удалённого на расстояние r от центра масс тела, приливное ускорение atidal выражается как:
$$ a_\text{tidal} \approx 2 G M \frac{r}{R^3} $$
где R — расстояние между центрами масс тел.
При более точном подходе с использованием сферических гармоник, приливный потенциал можно разложить по степеням радиуса:
$$ U_\text{tidal} = \sum_{l=2}^{\infty} U_l P_l(\cos\theta) $$
где Pl — полиномы Лежандра, l — степень гармоники (l=2 соответствует основному приливному горбу).
Приливные взаимодействия широко используются для объяснения следующих явлений: