В классической механике сложные системы удобно описывать с использованием обобщённых координат qi, которые учитывают все ограничения системы. Для системы с n степенями свободы её положение полностью определяется набором координат {q1, q2, …, qn}, а движение — их зависимостью от времени qi(t).
Если система подчинена связям вида f(q1, …, qn, t) = 0, то эти связи уменьшают число независимых координат. Обобщённые координаты позволяют исключить сложные реакции связей из уравнений движения и работать только с реально свободными степенями свободы.
Ключевой момент: лагранжева формулировка работает одинаково для систем с любыми связями, включая неполные и нелинейные.
Основным инструментом является лагранжева функция L, определяемая как разность кинетической и потенциальной энергии системы:
L(qi, q̇i, t) = T(qi, q̇i, t) − V(qi, t),
где T — кинетическая энергия, V — потенциальная энергия.
Для каждой обобщённой координаты qi уравнение Лагранжа имеет вид:
$$ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0. $$
Ключевые свойства уравнений Лагранжа:
Для одной частицы в потенциальном поле V(r) лагранжева функция принимает вид:
$$ L = \frac{1}{2} m \dot{\mathbf{r}}^2 - V(\mathbf{r}). $$
Уравнения Лагранжа в этом случае сводятся к классическим законам Ньютона:
$$ m \ddot{\mathbf{r}} = - \nabla V(\mathbf{r}). $$
Для нескольких частиц:
$$ L = \sum_{i} \frac{1}{2} m_i \dot{\mathbf{r}}_i^2 - V(\mathbf{r}_1, \dots, \mathbf{r}_N), $$
что позволяет удобно переходить к обобщённым координатам, например, внутренним углам и длинам связей в механических системах.
Для механических систем с жёсткими связями (например, маятники, системы с шарнирами) использование лагранжевой механики особенно эффективно. Вместо работы с силами реакций связей вводятся только обобщённые координаты, которые удовлетворяют всем ограничениям:
Для таких систем кинетическая энергия часто выражается через матрицу масс Mij(q):
$$ T = \frac{1}{2} \sum_{i,j} M_{ij}(q) \dot{q}_i \dot{q}_j, $$
а потенциальная энергия V(q) зависит только от координат. Уравнения Лагранжа:
$$ \sum_j \frac{d}{dt}\left(M_{ij} \dot{q}_j\right) - \frac{1}{2} \sum_{j,k} \frac{\partial M_{jk}}{\partial q_i} \dot{q}_j \dot{q}_k + \frac{\partial V}{\partial q_i} = 0 $$
являются системами дифференциальных уравнений второго порядка для qi(t).
Если лагранжева функция не зависит явно от координаты qi, то эта координата называется циклической, и соответствующий момент сохраняется:
$$ \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \implies \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = 0. $$
Примеры:
Ключевой момент: выявление циклических координат значительно упрощает интегрирование уравнений движения.
Для систем с неконсервативными силами Qi уравнения Лагранжа обобщаются:
$$ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = Q_i, $$
где Qi — обобщённые силы, проекции реальных внешних сил на обобщённые координаты. Это позволяет описывать: