Принцип Гамильтона-Якоби

Принцип Гамильтона–Якоби является одной из ключевых формулировок классической механики и представляет собой аналитический метод исследования динамики механических систем. Он связывает классическую механику с волновыми подходами и является переходным звеном к квантовой механике. В основе метода лежит гамильтоновская функция действия S, которая определяется как интеграл Лагранжиана L по времени вдоль траектории системы:

S(qi, t) = ∫t0tL(qi, q̇i, t) dt

где qi — обобщённые координаты системы.

Уравнение Гамильтона–Якоби

Ключевым элементом метода является уравнение Гамильтона–Якоби. Для системы с n степенями свободы и гамильтонианом H(qi, pi, t) оно имеет вид:

$$ H\left(q_1, \dots, q_n, \frac{\partial S}{\partial q_1}, \dots, \frac{\partial S}{\partial q_n}, t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 $$

Здесь $\frac{\partial S}{\partial q_i} = p_i$ — канонические импульсы, выраженные через производные функции действия по координатам.

Ключевой момент: уравнение Гамильтона–Якоби представляет собой полное интегральное уравнение, в котором известные функции S позволяют полностью определить траектории системы без необходимости прямого решения канонических уравнений Гамильтона.

Связь с каноническими уравнениями

Если функция S известна, то канонические переменные выражаются как:

$$ p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i}, \quad Q_i = \frac{\partial S}{\partial \alpha_i} $$

где αi — константы интегрирования, появляющиеся в полном решении уравнения Гамильтона–Якоби. Таким образом, функция действия S полностью задаёт каноническое преобразование, переводя систему в новые переменные Qi, Pi, где гамильтониан равен нулю и динамика тривиальна.

Полное интегральное решение

Полное интегральное решение уравнения Гамильтона–Якоби имеет вид:

S(qi, αi, t) = W(qi, αi) − Et

где:

  • W(qi, αi) — функция Гамильтона–Якоби по координатам, зависящая от констант интегрирования αi;
  • E — энергия системы, если гамильтониан не зависит явно от времени.

Для систем с временем-независимым гамильтонианом уравнение принимает стационарную форму:

$$ H\left(q_i, \frac{\partial W}{\partial q_i}\right) = E $$

Эта форма удобна для поиска интегралов движения и анализа устойчивости систем.

Примеры применения

  1. Свободная частица Для частицы массы m без потенциальной энергии V = 0 гамильтониан:

    $$ H = \frac{p^2}{2m} $$

    Стационарное уравнение Гамильтона–Якоби:

    $$ \frac{1}{2m} \left( \frac{\partial W}{\partial x} \right)^2 = E \implies W = \pm \sqrt{2 m E} \, x $$

    Каноническое преобразование даёт прямолинейное движение с постоянной скоростью.

  2. Гармонический осциллятор Для осциллятора с потенциалом $V = \frac{1}{2} k x^2$ гамильтониан:

    $$ H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} k x^2 $$

    Стационарное уравнение Гамильтона–Якоби:

    $$ \frac{1}{2m} \left( \frac{d W}{d x} \right)^2 + \frac{1}{2} k x^2 = E $$

    Решение W(x) через интеграл:

    $$ W(x) = \int \sqrt{2m \left(E - \frac{1}{2} k x^2\right)} \, dx $$

    После вычисления интеграла получаем каноническую функцию, позволяющую определить траектории системы.

Преимущества метода Гамильтона–Якоби

  • Позволяет полностью интегрировать систему при наличии достаточного числа интегралов движения.
  • Обеспечивает переход к квантовой механике, где S играет роль фазы волновой функции в формализме Шредингера.
  • Позволяет использовать методы разделения переменных, особенно в системах с симметрией.
  • Упрощает анализ систем с циклическими координатами, где канонические импульсы сохраняются.

Метод разделения переменных

Для систем с гамильтонианом, допускающим разложение на функции отдельных координат:

H = ∑iHi(qi, pi)

уравнение Гамильтона–Якоби может быть решено методом разделения переменных:

S(q1, …, qn, α1, …, αn) = ∑iSi(qi, αi)

Каждое слагаемое Si удовлетворяет отдельному уравнению:

$$ H_i\left(q_i, \frac{\partial S_i}{\partial q_i}\right) = \alpha_i $$

где αi — константы интегрирования, позволяющие найти полное решение.

Геометрическая интерпретация

Функция действия S(qi, t) имеет прямую геометрическую интерпретацию: её уровни S = const формируют гиперповерхности в конфигурационном пространстве, по которым движется система. Перпендикулярные к этим гиперповерхностям линии соответствуют траекториям движения. Это связывает метод Гамильтона–Якоби с оптической аналогией, где S играет роль функции фазы световой волны.

Оглавление