Принцип наименьшего действия

Принцип наименьшего действия является фундаментальным законом классической механики, который связывает динамику систем с вариационными методами. Он формулирует движение механической системы как путь, при котором так называемое действие принимает экстремальное значение. Этот принцип служит основой для вывода уравнений движения и является фундаментальным в современной физике, включая теорию поля и квантовую механику.

Действие и функция Лагранжа

Действие S определяется как интеграл функции Лагранжа L по времени:

S = ∫t1t2L(qi, q̇i, t) dt

где:

  • qi — обобщенные координаты системы (i = 1, 2, ..., n),
  • $\dot{q}_i = \frac{dq_i}{dt}$ — обобщенные скорости,
  • L(qi, q̇i, t) = T − V — функция Лагранжа, разность кинетической T и потенциальной V энергий.

Ключевой момент: путь, выбранный системой между точками qi(t1) и qi(t2), делает вариацию действия δS равной нулю:

δS = 0

Это условие обеспечивает получение уравнений движения системы.

Вариация действия

Для нахождения экстремума действия применяют метод вариаций. Рассмотрим вариацию траектории:

qi(t) → qi(t) + δqi(t),  δqi(t1) = δqi(t2) = 0

Тогда вариация действия имеет вид:

$$ \delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta \dot{q}_i \right) dt $$

С помощью интегрирования по частям для второго слагаемого и учета условий δqi(t1) = δqi(t2) = 0 получаем:

$$ \delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left[ \frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right] \delta q_i \, dt $$

Так как δqi произвольны, условие δS = 0 приводит к уравнениям Лагранжа:

$$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 $$

Эти уравнения полностью описывают динамику системы.

Примеры применения принципа наименьшего действия

  1. Механическая частица в потенциальном поле

Для частицы массы m в потенциальном поле V(r):

$$ L = T - V = \frac{1}{2} m \dot{\mathbf{r}}^2 - V(\mathbf{r}) $$

Уравнения Лагранжа дают известные уравнения Ньютона:

$$ m \ddot{\mathbf{r}} = - \nabla V(\mathbf{r}) $$

  1. Маятник

Для простого маятника с длиной l и массой m, угол отклонения θ относительно вертикали:

$$ L = \frac{1}{2} m (l \dot{\theta})^2 - m g l (1 - \cos\theta) $$

Применение уравнения Лагранжа:

$$ \frac{d}{dt} (m l^2 \dot{\theta}) + m g l \sin\theta = 0 \quad \Rightarrow \quad \ddot{\theta} + \frac{g}{l} \sin\theta = 0 $$

Свойства и интерпретации

  • Экстремум, а не обязательно минимум: действие может достигать как минимального, так и седлового значения.
  • Фундаментальность: принцип объединяет законы движения и геометрию траектории.
  • Связь с симметриями: через теорему Нётер каждая непрерывная симметрия Лагранжа соответствует закону сохранения (например, симметрия по времени → закон сохранения энергии).

Применение к системам с ограничениями

Для систем с связями (например, рельсовыми или геометрическими ограничениями) используют обобщенные координаты qi, которые автоматически учитывают ограничения. Принцип наименьшего действия позволяет выводить уравнения движения без явного задания реакций связей, что значительно упрощает анализ сложных механических систем.

Принцип наименьшего действия и геометрическая интерпретация

С точки зрения геометрии траекторий, принцип утверждает, что физическая система движется по такому пути, который делает интеграл кинетической энергии минус потенциальной энергии экстремальным. В вариационной формулировке классическая механика становится геометрической теорией движения, где динамика сводится к поиску экстремальных кривых на пространстве конфигураций системы.

Оглавление