При рассмотрении движения систем из двух тел часто возникает задача свести взаимодействие к движению одной воображаемой частицы, которая эквивалентно описывает динамику всей системы. Такой подход особенно удобен при анализе задач о взаимодействии тел под действием центральных сил (например, в задаче двух тел в небесной механике). Для этого вводится понятие приведённой массы.
Пусть два тела массами m1 и m2 взаимодействуют друг с другом. Для описания их относительного движения вводят относительный радиус-вектор
r = r1 − r2,
где r1, r2 – радиус-векторы тел относительно некоторой инерциальной системы отсчёта. Тогда динамику задачи можно свести к движению частицы с массой, равной так называемой приведённой массе:
$$ \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}. $$
Эта величина играет фундаментальную роль в классической механике, так как позволяет заменить задачу о двух телах задачей об одном эффективном теле, движущемся в поле сил.
Запишем кинетическую энергию системы двух тел:
$$ T = \frac{1}{2} m_1 \dot{\mathbf{r}}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \dot{\mathbf{r}}_2^2. $$
Введём координаты центра масс:
$$ \mathbf{R} = \frac{m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2}{m_1 + m_2}. $$
Также определим относительный радиус-вектор:
r = r1 − r2.
Тогда радиус-векторы можно выразить через R и r:
$$ \mathbf{r}_1 = \mathbf{R} + \frac{m_2}{m_1 + m_2} \mathbf{r}, \quad \mathbf{r}_2 = \mathbf{R} - \frac{m_1}{m_1 + m_2} \mathbf{r}. $$
Подставив это в выражение для кинетической энергии, получаем:
$$ T = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \dot{\mathbf{R}}^2 + \frac{1}{2} \mu \dot{\mathbf{r}}^2, $$
где $\mu = \dfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$.
Таким образом, движение системы можно разложить на:
Приведённая масса μ показывает, насколько «эффективно» распределяются массы двух взаимодействующих тел в задаче об относительном движении.
Если одна масса значительно больше другой, например m1 ≫ m2, то
μ ≈ m2,
то есть динамика относительно тяжёлого тела сводится к движению лёгкого тела, что совпадает с интуитивным представлением: малое тело вращается вокруг массивного, почти неподвижного объекта.
Если массы равны (m1 = m2), то
$$ \mu = \frac{m}{2}, $$
и задача эквивалентна движению частицы с половиной массы каждого тела.
Таким образом, введение приведённой массы позволяет рассматривать взаимодействие любых двух тел в единой схеме.
В задаче двух тел (например, движение планеты вокруг звезды) система сводится к движению частицы массы μ в поле гравитационного потенциала:
$$ U(r) = - \frac{G m_1 m_2}{r}. $$
Уравнение движения становится эквивалентным задаче о движении одного тела в центральном поле. Это упрощает анализ орбит и вывод закона Кеплера.
Приведённая масса используется в уравнении Шрёдингера для двухчастичных систем (например, электрон и протон в атоме водорода). Там кинетический член гамильтониана содержит приведённую массу:
$$ \hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2. $$
Это позволяет правильно учитывать движение обеих частиц, не сводя задачу только к лёгкому электрону.
Колебания атомов в молекуле описываются так, как если бы два атома массами m1 и m2 были соединены пружиной и их движение сводилось к одной «эффективной» массе μ. Это важно для анализа частот колебаний и спектров излучения.
Приведённая масса всегда меньше любой из исходных масс:
μ < m1, μ < m2.
Она симметрична относительно перестановки тел:
μ(m1, m2) = μ(m2, m1).
В пределе m1 → ∞ получаем μ → m2.
В пределе m2 → ∞ получаем μ → m1.
Эти свойства делают приведённую массу универсальным инструментом при сведении двухчастичной задачи к задаче об одной частице.