Работа и мощность

Определение работы В классической механике работа — это физическая величина, характеризующая перенос энергии телу под действием силы. Работа силы F⃗, действующей на тело при его перемещении на вектор s⃗, определяется как скалярное произведение этих векторов:

A = F⃗ ⋅ s⃗ = Fscos θ,

где:

  • F = |F⃗| — модуль силы,
  • s = |s⃗| — длина перемещения,
  • θ — угол между векторами силы и перемещения.

Знаки работы

  • Положительная работа (θ < 90∘) — сила способствует увеличению кинетической энергии тела.
  • Отрицательная работа (θ > 90∘) — сила препятствует движению тела, уменьшая его кинетическую энергию.
  • Нулевая работа (θ = 90∘) — сила перпендикулярна перемещению, не изменяет энергии тела.

Дифференциальная работа В случае переменной силы или криволинейного пути работа выражается через интеграл:

dA = F⃗ ⋅ ds⃗,  A = ∫CF⃗ ⋅ ds⃗,

где C — траектория движения тела.

Работа различных типов сил

Силы постоянной величины Если сила постоянна и направление движения совпадает с направлением силы, работа упрощается:

A = F ⋅ s.

Силы переменной величины Для сил, зависящих от координаты x, работа определяется интегралом:

A = ∫x0x1F(x) dx.

Гравитационная сила Работа силы тяжести при перемещении тела вдоль вертикали h:

A = mgh,

где m — масса тела, g — ускорение свободного падения.

Сила упругости Работа упругой силы, действующей на деформированное тело (закон Гука):

$$ A = \int_0^x k x \, dx = \frac{1}{2} k x^2, $$

где k — коэффициент жесткости, x — деформация.

Мощность

Определение мощности Мощность — это физическая величина, характеризующая скорость совершения работы:

$$ P = \frac{dA}{dt}. $$

Если сила и скорость тела v⃗ известны, мгновенная мощность выражается как:

P = F⃗ ⋅ v⃗.

Единицы измерения

  • СИ: ватт (Вт) — работа 1 джоуль, совершенная за 1 секунду.
  • Альтернативная единица: лошадиная сила (1 л.с. ≈ 735 Вт).

Работа и энергия

Кинетическая энергия Кинетическая энергия тела массы m, движущегося со скоростью v:

$$ E_k = \frac{1}{2} m v^2. $$

Теорема о кинетической энергии Сумма работы всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии:

∑A = ΔEk = Ek2 − Ek1.

Потенциальная энергия Для консервативных сил можно ввести потенциальную энергию Ep, тогда работа силы равна изменению потенциальной энергии:

A = −ΔEp = Ep1 − Ep2.

Закон сохранения механической энергии В замкнутой системе без диссипативных сил:

Ek + Ep = const.

Работа при различных траекториях движения

Прямолинейное движение Работа силы постоянного направления вдоль прямой:

A = Fs.

Криволинейное движение Работа переменной силы вдоль кривой C вычисляется через интеграл:

A = ∫CF⃗ ⋅ ds⃗.

Работа нескольких сил Если на тело действует несколько сил F⃗i, полная работа равна сумме работ каждой силы:

Atotal = ∑iAi = ∑i∫F⃗i ⋅ ds⃗.

Особенности работы и мощности

  • Силы трения всегда выполняют отрицательную работу, уменьшая кинетическую энергию.
  • Мгновенная мощность важна в динамике машин и двигателей, так как показывает эффективность преобразования энергии.
  • Средняя мощность за промежуток времени Δt:

$$ \bar{P} = \frac{A}{\Delta t}. $$

  • Для гармонического движения работа силы и мощность периодически изменяются по времени, что имеет ключевое значение в механике колебаний.
Оглавление