Релятивистская динамика

Релятивистская динамика — раздел физики, изучающий движение частиц и систем частиц при скоростях, сопоставимых со скоростью света c. В отличие от классической механики, где импульс и энергия связаны простыми законами Ньютона, в релятивистской механике эти величины зависят от скорости частицы через фактор Лоренца.

Ключевым элементом является преобразование Лоренца, которое заменяет Галилеевы преобразования в случае высоких скоростей:

$$ x' = \gamma (x - v t), \quad t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^2}\right), $$

где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ — релятивистский фактор Лоренца.

Релятивистский импульс

В релятивистской механике импульс частицы определяется как:

p = γmv,

где m — масса частицы в состоянии покоя, v — её скорость, а γ — фактор Лоренца.

Особенности релятивистского импульса:

  • При малых скоростях (v ≪ c) γ ≈ 1 и p ≈ mv, что соответствует классической механике.
  • При v → c импульс растёт без ограничения, что отражает невозможность разгона частицы с ненулевой массой до скорости света.

Релятивистская энергия

Релятивистская энергия частицы включает кинетическую и массу покоя:

$$ E = \gamma m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}. $$

Ключевое соотношение между энергией и импульсом:

E2 = (pc)2 + (mc2)2.

Замечания:

  • При покое (v = 0) энергия E0 = mc2 — это знаменитое выражение Эйнштейна для массы и энергии.
  • При v ≪ c выполняется разложение:

$$ E \approx m c^2 + \frac{1}{2} m v^2, $$

где $\frac{1}{2} m v^2$ — классическая кинетическая энергия.

Релятивистская сила

В релятивистской динамике сила определяется через изменение релятивистского импульса:

$$ \mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \frac{d}{dt}(\gamma m \mathbf{v}). $$

Для движения вдоль направления силы выражение принимает вид:

F = γ3ma,

где a — ускорение вдоль направления движения, что отличается от классического F = ma.

Для движения, перпендикулярного силе, ускорение выражается как:

$$ a_\perp = \frac{F_\perp}{\gamma m}. $$

Вывод: ускорение частицы не пропорционально силе линейно при релятивистских скоростях.

Релятивистские законы сохранения

1. Сохранение импульса:

В любой замкнутой системе релятивистский импульс сохраняется:

∑pнач = ∑pкон.

2. Сохранение энергии:

Полная релятивистская энергия системы сохраняется:

∑Eнач = ∑Eкон.

Пример: столкновение двух частиц при релятивистских скоростях требует учета полной энергии и импульса для правильного расчета конечных скоростей и масс.

Релятивистские преобразования динамических величин

Для системы с движением вдоль оси x релятивистские преобразования энергии и импульса имеют вид:

$$ E' = \gamma (E - v p_x), \quad p'_x = \gamma (p_x - \frac{v}{c^2} E), \quad p'_y = p_y, \quad p'_z = p_z. $$

Эти соотношения обеспечивают инвариантность E2 − (pc)2, что является основой релятивистской кинематики и динамики.

Примеры релятивистской динамики

  1. Релятивистское ускорение электрона в электрическом поле:

Для электрона массы me, ускоряемого электрическим полем E:

$$ F = eE = \frac{d}{dt}(\gamma m_e v), $$

что при численном решении дает зависимость скорости от времени с учетом релятивистских эффектов.

  1. Столкновения частиц в ускорителях:

Используется релятивистский закон сохранения импульса и энергии для вычисления кинетических параметров образующихся частиц, их масс и углов рассеяния.

Релятивистский лагранжиан и гамильтониан

Лагранжиан свободной частицы:

$$ L = - m c^2 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}. $$

Из него через стандартные процедуры Лагранжа выводится релятивистский импульс и уравнения движения.

Гамильтониан:

H = p ⋅ v − L = γmc2 = E.

Это обеспечивает прямую связь между релятивистской динамикой и формализмом канонических переменных.

Ключевые моменты

  • Импульс и энергия зависят от скорости через фактор Лоренца.
  • Скорость света c является пределом для частиц с ненулевой массой.
  • Законы сохранения импульса и энергии сохраняются, но с релятивистскими величинами.
  • Релятивистская сила не линейно связана с ускорением.
  • Формализм Лагранжа и Гамильтона сохраняется, но с модифицированными функциями.
Оглавление