Релятивистская кинематика

Релятивистская кинематика изучает движение тел с учётом принципов специальной теории относительности (СТО), сформулированной А. Эйнштейном в 1905 году. В отличие от классической механики, где справедливы законы Галилея и Лапласа, релятивистская кинематика учитывает конечную скорость распространения сигналов (скорость света c) и приводит к существенным изменениям понятий времени, длины и массы при движении со скоростями, сравнимыми со скоростью света.

Пространство и время в релятивистской механике

В СТО пространство и время объединены в четырёхмерное пространство Минковского с координатами (ct, x, y, z), где t — время в системе отсчёта покоя наблюдателя, c — скорость света. Введена метрика Минковского:

ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2

Здесь ds — интервал между двумя событиями. Этот интервал сохраняется при преобразованиях Лоренца, что является релятивистским аналогом инвариантного расстояния в евклидовой геометрии.

Преобразования Лоренца

Пусть существует две инерциальные системы отсчёта: S и S′, где S′ движется относительно S вдоль оси x с постоянной скоростью v. Преобразования Лоренца связывают координаты и время этих систем:

$$ x' = \gamma (x - vt), \quad y' = y, \quad z' = z, \quad t' = \gamma \left(t - \frac{vx}{c^2}\right) $$

где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ — фактор Лоренца.

Ключевые моменты:

  • Для v ≪ c преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.
  • Время и длина зависят от системы отсчёта, а интервал ds2 остаётся инвариантным.

Временные эффекты

Замедление времени: Время, измеренное в движущейся системе, проходит медленнее относительно покоящейся системы:

Δt = γΔt0

где Δt0 — собственное время (время покоящейся системы).

Ключевой пример: если космический аппарат движется со скоростью 0.8c, γ ≈ 1.667. Значит, 1 час на борту соответствует примерно 1 час 40 минут на Земле.

Лоренцовое сокращение длины

Длина тела вдоль направления движения уменьшается:

$$ L = \frac{L_0}{\gamma} $$

где L0 — длина в системе покоя. Сокращение проявляется только вдоль направления движения, перпендикулярные размеры остаются неизменными.

Сложение скоростей

В релятивистской кинематике сложение скоростей не является простым арифметическим:

$$ u' = \frac{u - v}{1 - \frac{uv}{c^2}} $$

где u — скорость объекта в системе S, u′ — в системе S′.

Следствия:

  • Суммарная скорость никогда не превышает c.
  • При u, v ≪ c формула упрощается до классического сложения скоростей u′ ≈ u − v.

Релятивистские четыре-векторы

Четырёх-координаты: Xμ = (ct, r)

Четырёх-скорость: $U^\mu = \frac{dX^\mu}{d\tau} = \gamma (c, \mathbf{v})$, где dτ — собственное время.

Четырёх-импульс: Pμ = mUμ = (γmc, γmv)

Собственная длина вектора сохраняется: PμPμ = m2c2

Релятивистская кинематическая энергия и импульс

Энергия и импульс связаны с четырёх-импульсом:

E = γmc2,  p = γmv

Релятивистское соотношение:

E2 = (pc)2 + (mc2)2

  • Для малых скоростей v ≪ c это переходит в классическую формулу $E \approx mc^2 + \frac{1}{2}mv^2$.
  • При v → c энергия растёт неограниченно, а масса покоя остаётся инвариантной.

Примеры и приложения

  1. Мюоны в атмосфере: Благодаря замедлению времени движущиеся мюоны успевают достигнуть поверхности Земли, несмотря на короткое собственное время жизни.
  2. Космические полёты: Время на борту движущегося корабля идёт медленнее, что учитывается при межпланетных миссиях.
  3. Электродинамика частиц: Скорости частиц в ускорителях требуют использования релятивистских формул для расчёта энергии и импульса.

Принципы релятивистской кинематики

  1. Принцип инвариантности скорости света: Все наблюдатели измеряют одну и ту же скорость света в вакууме.
  2. Инвариантность физических законов: Законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта.
  3. Инвариантность интервала: Геометрическая величина ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 одинакова для всех инерциальных наблюдателей.

Эти принципы полностью формируют релятивистскую кинематику и создают основу для перехода к релятивистской динамике и электродинамике.

Оглавление